T = m1m2 g(1+sinα − µcosα) = 21,6 Н . m1 + m2
При некотором подборе числовых данных может получиться, что при учёте силы трения, т. е. при совместном решении уравнении (3), ускорение a будет отрицательно.
Как уже говорилось, выше, сила трения не может изменить направление движения на обратное; следовательно, в этом случае система неподвижна и ускорение a = 0. Это означает, что сила трения в действительности
f тр < µN .
Здесь мы вновь сталкиваемся с тем, что при отсутствии относительной скорости v' трущихся поверхностей сила трения может принимать любое значение в пределах от нуля до kN:
f тр ≤ µN .
Если же v' ≠ 0, то сила трения принимает значение f тр = µN .
Задача 7
На наклонной плоскости лежат два груза, соединенные тонким стержнем. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью различны. В каком случае стержень будет сжат? В каком растянут? Разобрать качественно.
АНАЛИЗ
В отсутствие стержня ускорение каждого из грузов определяется только углом наклона плоскости к горизонту и величиной коэффициента трения. Если ускорение первого груза больше, чем ускорение второго, т. е. если первый коэффициент трения меньше второго (µ1 < µ2), то стержень будет замедлять движение первого груза и ускорять движение второго груза. В этом случае стержень будет растянут. Если µ1 > µ2 то стержень будет ускорять первый груз и замедлять второй груз; следовательно, стержень будет сжат.
Задача 8
Груз массой m = 200 г, привязанный к нити длиной l = 40 см, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали α = 36° (рис. 10). Найти угло-
вую скорость вращения груза ω и силу натяжения нити T.
Рис. 10
АНАЛИЗ
Рассматриваемое тело движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение его направлено к центру (оси) вращения и равно
a = an = ω2 r . (1)
При этом движении на тело действуют только две силы – сила тяжести Р и сила натяжения нити F. Запишем II закон Ньютона
ma = P + T . |
(2) |
Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траектории, к центру окружности, вторую – вертикально.
РЕШЕНИЕ
Заменяя векторную запись II закона Ньютона соотношениями между проекциями
сил на указанные оси, получим |
|||||
man = T sin α , |
(3) |
||||
0 = −P +T cosα . |
(4) |
||||
На основании этих уравнений находим |
|||||
T |
= |
P |
= 2,4 Н |
; |
|
cosα |
|||||
man = mg tgα . |
(5) |
||||
Для того чтобы найти ω, воспользуемся соотношением (1):
ω2 = |
an |
, |
(6) |
r |
|||
где r – радиус окружности, по которой движется тело, равный r = l sin α .
Подставив значения an и r в уравнение (6), получим
ω2 = l cosg α , ω = lcosg α = 5,6 с−1 .
Вданном случае центростремительная сила равна векторной сумме силы тяжести и силы натяжения нити6.
Задача 9
Автомобиль массой m = 1600 кг едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч по вы-
пуклому мосту, радиус кривизны которого r = 83 м (рис. 11). Найти силу давления автомобиля на мост в его верхней точке.
Рис. 11
АНАЛИЗ
Найти непосредственно по данным задачи силу давления автомобиля на мост мы не можем, но, рассматривая условия движения автомобиля, можно найти силу нормальной реакции N – силу, с которой мост давит на автомобиль. Эти силы по III закону Ньютона по модулю равны друг другу.
Автомобиль движется с постоянной скоростью по дуге окружности. Следователь-
6 При решении всякой задачи на динамику криволинейного движения следует указывать, из проекции каких сил складывается центростремительная сила в каждом отдельном случае.
но, полное ускорение автомобиля направлено к центру и равно
a = an = vr2 .
В созданииэтого ускорения участвуют только две силы – сила тяжести Р и сила нормальной реакции N. Сила тяги мотора и сила трения, также действующие на автомобиль, направлены по касательной к траектории и в верхней точке уравновешивают друг друга, поэтому их можно не рассматривать. Поскольку обе силы Р и N коллинеарны, II закон Ньютона можно записать сразу в скалярном виде, считая направление вниз положительным.
РЕШЕНИЕ
По II закону Ньютона имеем
man = P − N ,
откуда
v |
2 |
||
N = m g − |
r |
. |
|
Искомая сила давления автомобиля на мост
Pn = N =13,8 103 Н .
Полезно показать учащимся, что в любой другой точке моста нормальное ускорение будет создаваться проекцией силы тяжести на радиальное направление и силы нормальной реакции.
Задача 10
С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиуса r = 90 м, если коэффициент трения колес о почву µ = 0,4? На какой угол α от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости v1 = 15 м/с (рис. 12)?
АНАЛИЗ
При движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения и движение его в принципе не будет поступательным (мотоциклист и мотоцикл рассматриваются как единое твердое тело). Следовательно, скорости различных точек отличны друг от друга. Для того чтобы найти скорость центра масс, надо
найти нормальное ускорение этой точки. Согласно теореме о движении центра масс его ускорение не будет зависеть от точек приложения сил, а на мотоциклиста действуют силы: сила тяжести, сила нормальной реакции, сила трения, сила тяги, направленные по касательной к траектории, и сила трения покоя, направленная к центру. Так как скорость мотоциклиста постоянна, сумма проекций всех сил на направление по касательной равна нулю. В наше рассмотрение войдут только сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения покоя fтр, направленная но нормали к траектории, к центру ее
кривизны. Ускорение центра масс мотоциклиста, равное по абсолютной величине7 v2 , r
направлено также к центру.
Рис. 12 |
|
II закон Ньютона может быть записан так: |
|
ma = P + N + fтр . |
(1) |
Однако, эти силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклиста будет действовать еще вращающий момент. Этот момент равен нулю, если результирующая силы нормальной реакции и силы трения пройдет через центр тяжести (центр масс) мотоциклиста. Из рис. 12 видно, что условие будет выполнено, если
tgα = |
f тр |
. |
(2) |
|
N |
||||
Сила трения, о которой идет речь, представляет собой силу трения покоя, так как в радиальном направлении мотоциклист не имеет скорости. Следовательно
7 Так как радиус траектории, по которой движется мотоциклист, очень велик, отличием радиуса окружности, по которой фактически движется центр масс, от заданной величины r можно пренебречь.