тельно воды со скоростью v2, которая возникает под действием усилий гребца и кото-
рую можно считать постоянной. Векторная сумма этих двух скоростей есть результирующая скорость лодки и определяет направление движения.
В первом случае результирующая направлена по прямой АС, во втором – по прямой АВ. Очевидно, что для описания движения лодки оси координат удобно выбрать следующим образом: ось х – вдоль реки, ось у – по направлению АВ, начало координат поместить в точке А.
Рис. 1
РЕШЕНИЕ |
||
Запишем уравнения движения для первого случая: |
||
x = v1t ; при t = t1 |
x = s , т. е. s = v1t1 ; |
(1) |
y = v2t ; при t = t1 |
y = l , т. е. l = v2t1 . |
(2) |
Для второго случая |
||
y = v2 cosα t ; |
||
при t = t2 y = l , т. е. l = v2 cosα t2 . |
(3) |
|
Уравнение движения по оси x во втором случае писать не нужно, так как алгебраическая сумма проекций скоростей на ось х равна 0, т. е.
v1 − v2 sinα = 0 . |
(4) |
Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), получим v1 = 0,20 м/с , v2 = 0,34 м/с ; l = 200 м; α = arccos 0,8 = 36°.
Задача 2
Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью vнач = 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?
АНАЛИЗ
Прежде всего следует особо подчеркнуть, что в течение всего времени, пока камень движется, его движение совершается по одному и тому же закону. Действительно, ускорение камня, равное ускорению свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха, все время остается неизменным. Следовательно, движение камня является равнопеременным движением с отличной от нуля начальной скоростью. Тот факт, что, начиная с некоторого момента, скорость имеет противоположное первоначальному направление, не дает никаких оснований считать, что в этот момент меняется закон дви-
жения тела. |
|||||
Движение камня происходит по следующему закону: |
|||||
y = y0 + v0t + |
at |
2 |
; |
(1) |
|
2 |
|||||
его скорость |
|||||
v = dy |
= v0 + at . |
(2) |
|||
dt |
|||||
Знаки начальной скорости и ускорения и численное значение у0 определяются выбором положительного направления оси и начала отсчета. В этом можно убедиться в следующих трех случаях:
1) Ось у направлена вниз; начало отсчета помещается на уровне Земли. Тогда y0 = 0 ;
v0 = −vнач ;
a = g .
Уравнения (1) и (2) для данного случая принимают вид
y= −vначt + gt22 ; v = −vнач + gt .
2)Ось у направлена вверх; начало отсчета на уровне дна колодца. Тогда
y0 = h ;
v0 = vнач ;
a = −g .
Уравнение движения
y = h + vначt − gt22 ;
скорость камня
v = vнач − gt .
3) Ось направлена вверх, начало координат на уровне Земли. Тогда y0 = 0 ;
v0 = vнач ;
a = −g .
Уравнение движения
y = vнач t − gt22 ;
скорость камня
v = vнач − gt .
РЕШЕНИЕ
Проводим решение, например, по третьему варианту:
y = vнач t − gt22 или y = v0t − gt22 .
Решая это уравнение относительно t, получим
t = |
v |
± |
v2 |
−2gy |
. |
(3) |
|
0 |
0 |
||||||
g |
Отсюда сразу находим время tк, по истечении которого камень достигает дна колодца
( y = −h) :
tк = |
v |
+ |
v2 |
+2gh |
(4) |
||||||||
0 |
0 |
||||||||||||
g |
|||||||||||||
(корень tк′ |
= |
v |
− |
v2 |
+2gh |
отбрасываем, |
так как он не имеет физического смысла: |
||||||
0 |
0 |
||||||||||||
g |
|||||||||||||
tк′ < 0 )
Полезно обратить внимание учащихся на то, что исследование равенства (3) дает
возможность ответить на ряд вопросов. |
|||||
1. Найти максимальную высоту H подъема камня. |
|||||
Из уравнения (3) видно, что t имеет действительное значение до тек пор, пока |
|||||
v02 −2gy ≥ 0 . |
(5) |
||||
Из уравнения (5) имеем y ≤ |
v2 |
||||
0 |
откуда |
||||
2g |
|||||
H = ymax = |
v2 |
||||
0 |
. |
||||
2g |
|||||
2. Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке у своего пути.
При H > y ≥ 0 в (3) получится два ответа, каждый из которых имеет физический смысл, так как в каждой такой точке камень бывает дважды за время своего движения.
Задача 3
Два тела движутся по одной прямой с ускорениями a1 = 1 м/с2, a2 = 3 м/с2. Некоторую точку А пути второе тело проходит спустя τ = 14 с после первого тела в том же направлении. В точке A скорость первого тела vA = 22 м/с и скорость второго uA = 10 м/с.
Через сколько времени после прохождения первым телом точки А тела столкнутся?
АНАЛИЗ
Начало координат следует поместить в точке А. За начало отсчета времени удобно принять тот момент, когда первое тело проходит точку А. Тогда начальная скорость, первого тела v0 = vA. Начальная скорость u0 второго тела и начальная координата x02
могут быть найдены из условий задачи: при t = τ x2 = 0, uτ = uA.
РЕШЕНИЕ
Уравнение движения первого тела
x1 |
= v0t + |
a t |
2 |
; |
(1) |
||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
второго тела |
|||||||||||||||||
x |
= x |
+u |
t + |
a |
t |
2 |
; |
(2) |
|||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
02 |
0 |
2 |
|||||||||||||||
из начальных условии имеем |
|||||||||||||||||
uA = u0 + a2τ , |
(3) |
||||||||||||||||
0 = x |
+ u τ |
+ |
a τ |
2 |
. |
(4) |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
02 |
0 |
2 |
|||||||||||||||
Из уравнения (3) находим |
|||||||||||||||||
u0 |
= uA − a2τ ; |
(5) |
|||||||||||||||
из уравнений (4) и (5) |
|||||||||||||||||
x |
= −u τ + |
a τ 2 |
. |
(6) |
|||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
02 |
A |
2 |
|||||||||||||||
При подстановке числовых значений в уравнения (5) и (6) получим, что u0 < 0, x02 > 0. Это значит, что второе тело в момент t = 0 находилось справа от точки A (считаем положительное направление оси х слева направо) и двигалось по направлению к точке А. В какой-то момент времени t < τ направление скорости второго тела измени-
лось. |
||||
При подстановке (5) и (6) в уравнение (2) получаем |
||||
x 2 = uA (t −τ ) + |
a |
(t −τ )2 |
. |
(7) |
2 |
||||
2 |
||||
(Уравнение (7) можно получить, если ввести для второго тела свое время t' = t – τ.) Время столкновения обоих тел определится из условия
x1 = x2 .
Приравнивая правые части уравнений (1) и (7), получим квадратное уравнение относительно t. Корни этого уравнения равны следующим значениям:
t1 = 51 с; t2 = 3 с.
Оба корня имеют физический смысл. Первый корень (t1 > τ) соответствует «столкновению» после того, как оба тела прошли точку А и движутся в одинаковом направлении.