стоянием между частицами или неопределенность в импульсе сравнима со средним импульсом частиц. Более строгий количественный расчет позволяет получить критерий вырождения системы частиц, т. е. условие неприменимости к ней классического подхода. Согласно этому критерию, чем больше концентрация частиц и меньше их масса, а также чем ниже температура, тем больше степень вырождения системы. Например, система фотонов, имеющих нулевую массу покоя, всегда вырождена, т. е. требует применения квантовой статистики. При этом важно обратить внимание студентов на то, что полученный вывод не означает ошибочности классического подхода к оптическим явлениям вообще. Рассмотрение волновых свойств электромагнитного излучения вполне укладывается в классические рамки. Лишь в тех явлениях, где проявляются корпускулярные свойства света, электромагнитное излучение рассматривается как система фотонов, для описания которой необходимо применение квантовой статистики. Системы из атомов и молекул в газообразном состоянии состоят из достаточно тяжелых частиц, концентрация которых при любых температурах настолько низка, что системы далеки от вырождения и к ним применим классический подход.
Система электронов, являющихся очень легкими частицами, может быть в зависимости от температуры и концентрации как вырожденной, так и классической. Например, концентрация электронов проводимости в металлах настолько велика, что для их описания необходимо применять статистику Ферми-Дирака. Между тем система электронов в плазме, где их концентрация на несколько порядков меньше, допускает классическое описание. В этом проявляется диалектический закон перехода количества в качество: концентрация мала – система проявляет классические свойства, концентрация велика – необходим квантовый подход. Одно из важнейших свойств таких квантовых систем состоит в том, что вся система живет как единое целое. Это уже не совокупность частиц, время от времени взаимодействующих друг с другом, а единый коллектив, отдельные части которого находятся в непрерывной и глубокой связи со всеми остальными. Нужно отметить, что взаимодействие частиц такой системы уже не укладывается в рамки ньютоновских представлений. Например, принцип Паули представляет результат сугубо квантовой корреляции движения фермионов, входящих в одну систему. Корреляция наблюдается также в системах бозонов (бозе-конденсация). По существу, мы встречаемся здесь с новым содержанием понятия «взаимодействие» в результате диалектического «движения» понятия. Это произошло за счет «огрубления» картины квантового коллектива, рассматриваемого как система дискретных частиц.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Начиная разбор физики твердого тела, нужно отметить, что классическая физика не может объяснить само существование твердых тел – структур, обладающих значительной устойчивостью. Здесь ситуация та же, что и с устойчивостью атома. Между прочим, в этом состоит серьезное противоречие в классической механике, которая не может даже сформулировать исходные понятия, не привлекая представление о твердых телах [23].
Физика твердого тела представляет собой одну из наиболее важных областей применения квантовой механики и квантовых статистик. Возникает вопрос – почему для объяснения свойств макроскопического тела – кристалла – необходимо применять квантовую физику? Причина заключается в квантовых свойствах микрочастиц, входящих в состав твердого тела, и в соизмеримости расстояния между узлами кристаллической решетки с длиной волны де Бройля для электронов, движущихся в кристалле. Вообще мы гораздо чаще встречаемся с проявлениями квантовых законов в поведении макроскопических тел, чем это кажется на первый взгляд. Об этом уже упоминалось при рассмотрении теплоемкости газов и твердых тел.
При анализе схемы энергетических уровней для обобществленных электронов в кристалле важно обратить внимание на возникновение дозволенных энергетических зон из уровней изолированных атомов. Указанная закономерность может служить хорошей иллюстрацией возникновения качественно новых свойств за счет взаимодействия частиц, входящих в большой коллектив. Вместе с тем для свойств твердого тела весьма существенен дискретный характер расположения уровней в пределах зоны, несмотря на необычайную близость их между собой (порядка 10-23 эВ). Связано это с ролью принципа Паули при распределении обобществленных электронов по уровням зоны и является наглядным примером качественного различия, существующего между непрерывностью и прерывностью. В то же время во многих вопросах физики кристаллов указанной дискретностью можно пренебречь.
Следует подчеркнуть, что количественное различие в степени заселенности энергетических зон кристаллов приводит к качественным изменениям их свойств: проводники, полупроводники и изоляторы. При разборе теории проводимости надо обратить внимание на различие понятий свободный электрон в классической физике и обобществленный электрон в квантовой теории. Свободный электрон в классической физике – это электрон, оторвавшийся от атома и подчиняющийся действию приложенного элек-
трического поля. Обобществленный электрон в квантовой теории тоже не принадлежит отдельному атому, но далеко не всегда подчиняется действию приложенного поля. В классической физике чем больше концентрация свободных электронов в кристалле, тем выше его проводимость. В квантовой теории, если обобществленных электронов так много, что они заполняют все уровни разрешенной зоны, а расстояние до следующей пустой зоны велико, то никакой проводимости не будет. В данном случае приложенное электрическое поле не может нарушить хаотичность движения обобществленных электронов и создать направленный ток. Такой кристалл ведет себя как изолятор. Можно сказать, что в изоляторе обобществленные электроны «слишком свободны», их движение нельзя упорядочить.
В кристалле усложняется также понятие об инертной массе электрона. Для явления электропроводности инертная масса электрона важна как параметр, определяющий ускорение электрона под действием внешнего электрического поля. Однако электрон находится также и в поле, создаваемом кристаллической решеткой. Поэтому, рассматривая ускорение электрона как вызванное только действием внешнего поля, мы должны в какой-то форме учесть действие на электрон поля решетки. Это достигается путем введения «эффективной массы» электрона. Пока в постановке вопроса нет ничего специфически квантового. Мы рассуждали бы аналогичным образом в классической механике. Однако в случае электрона, движущегося в кристаллической решетке, его взаимодействие с решеткой носит сугубо квантовый характер. Таким образом, величина «эффективной массы» электрона определяется его квантовыми (волновыми) свойствами, а сила, действующая на электрон со стороны внешнего электрического поля, – его корпускулярными свойствами. Именно использование понятия «эффективной массы» позволяет применять к движению электрона классическое понятие ускорения, несмотря на квантовый характер этой «массы». Здесь используется единство корпускулярных и волновых свойств электрона.
Сильные изменения претерпевает классическое понятие средней длины свободного пробега электрона. Согласно квантовой механике, в идеальном кристалле с неподвижными узлами решетки длина свободного пробега электрона была бы ограничена только размерами кристалла. Между тем в классической физике она должна быть порядка расстояния между соседними узлами решетки. Конечность длины свободного пробега электрона в реальном кристалле определяется нарушениями правильности структуры кристалла, благодаря дефектам и тепловому движению узлов решетки. Эта длина на несколько порядков превышает классическую длину свободного пробега. Так как про-
водимость пропорциональна длине свободного пробега, то, казалось бы, классическая и квантовая теории не могут давать близкие по порядку величины значения проводимости. Однако классическая электронная теория давала правильные по порядку величины значения для проводимости. Объясняется это тем, что в формулу для проводимости входит отношение средней длины свободного пробега электронов к средней скорости их хаотического движения. Так как обобществленные электроны в кристалле подчиняются статистике Ферми-Дирака, то средняя скорость их хаотического движения на порядки величин превышает среднюю скорость частиц классического газа при той же температуре. Таким образом, хотя классическая теория неверно оценивала обе величины – и длину свободного пробега, и среднюю скорость, их отношение она оценивала довольно правильно, в качественном согласии с экспериментом. Это поучительный пример случайной компенсации ошибок в неверной, по существу, теории, демонстрирующий, как опасно делать выводы о правильности теории на основании отдельных совпадений с экспериментальными данными. Как известно, классическая электронная теория не сумела выяснить роль структуры металлов в их проводимости и дать правильную зависимость проводимости от температуры. Все это сделала квантовая физика. Кроме того, квантовая физика сумела правильно объяснить тепловые свойства металлов (теплоемкость и т. д.).
В современной квантовой физике твердого тела широкое применение нашло понятие квазичастицы. Дело в том, что очень трудно анализировать поведение системы сильно взаимодействующих частиц, составляющих кристалл, в неравновесных состояниях. Очень облегчает задачу введение понятия квазичастиц, характеризующих различного рода возбуждения такой системы. Первую квазичастицу ввел советский физик Я. И. Френкель. Это был экситон, состоящий из электрона и дырки. Сейчас в физической литературе фигурируют такие понятия как «молекулы» и даже капли экситонной «жидкости».
Введение квазичастиц позволяет рассматривать кристалл как объем, который наполнен газом квазичастиц, очень слабо взаимодействующих между собой. Этот газ состоит из смеси фермионов (электроны проводимости, дырки и др.) и бозонов (фононы и др.). На примере фононов можно продемонстрировать весьма интересную диалектику возникновения подхода, основанного на введении квазичастиц. Благодаря взаимодействию узлов решетки их тепловые колебания связаны между собой и могут быть описаны как результат распространения волн (дебаевские волны). Дискретность решетки сказывается только в ограничении сверху диапазона частот этих волн. На первый план,
таким образом, выходит понятие непрерывной волны, которая, правда, фактически реализуется только в узлах решетки. Однако затем вводят фононы – квазичастицы, характеризующие свойства этих волн, подобно тому, как фотоны характеризуют дискретные свойства электромагнитных волн. При этом происходит переход от непрерывности опять к дискретности, но уже не в старом, классическом, а в новом, квантовом смысле того же понятия. Теплоемкость решетки кристалла сводится к теплоемкости почти идеального фононного газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна, что полностью объясняет отступление от закона Дюлонга-Пти.
На фононном языке роль тепловых колебаний в электропроводности сводится к «столкновениям» электронов с фотонами. Понятие «столкновение» понимается в смысле поглощения или порождения фононов электронами, что тоже не совпадает с классическим понятием столкновения частиц. Очень интересно то, что фононы при температурах, далеких от абсолютного нуля, понижают проводимость кристалла, а при температурах, близких к абсолютному нулю, наоборот, обеспечивают возникновение в некоторых веществах сверхпроводимости. В этом случае эффект взаимодействия фононов с электронами переходит в свою противоположность, причем переход совершается скачком при определенной температуре.
Такие макроскопические квантовые явления как сверхтекучесть, сверхпроводимость и эффект Джозефсона показывают, что часто повторяемое утверждение об ограничении области применимости квантовой физики микромиром не соответствует действительной ситуации. Объясняются эти явления большой длиной когерентности волн де Бройля в соответствующих условиях.
Достижения советской науки в области физики конденсированных сред весьма велики, но сколько-нибудь подробное их изложение в общем курсе физики нереально. Следует отметить, что открытие сверхтекучести П. Л. Капицей и создание теории этого явления Л. Д. Ландау получили мировое признание. Большой вклад в теорию сверхпроводимости внесли Л. Д. Ландау, Н. Н. Боголюбов и их ученики. И. Е. Тамм и С. П. Шубин предсказали существование поверхностных уровней в кристаллах. Эти уровни не только были обнаружены экспериментально, но и получили в последние годы широкое практическое применение в полупроводниковых приборах. Идея полупроводниковых лазеров родилась в СССР (Н. Г. Басов, Б. М. Вул и др.).
В заключение раздела надо сказать, что квантовые свойства кристаллов послужили основой для создания целой новой отрасли техники – твердотельной электроники, использующей полупроводниковые приборы. Это необычайно расширило возможности