приходит к выводу, что, с философской точки зрения, динамические и статистические законы отличаются пониманием внутренней структуры необходимости. В статистических законах она выступает в динамической неразрывной связи со случайным, в динамических – как абсолютная противоположность случайного. Неразрывная связь необходимого и случайного в статистических законах отражает эту связь в любых реальных явлениях. Необходимость основана на случайности, сама же случайность выступает как форма проявления необходимости: «Статистические средние, вычисление которых составляет одну из главных задач статистической физики, с необходимостью устанавливаются при определенных условиях. Но что представляет собой это необходимое среднее? В каждый данный момент состояние системы не совпадает точно со средним. Всегда возникают случайные отклонения от среднего – флуктуации. Однако они происходят в ту и другую сторону от среднего, и именно поэтому само статистическое среднее устанавливается с необходимостью.» [17].
Любое мгновенное состояние системы случайно. Из условий, в которых находится система, и из ее свойств с необходимостью вытекает только определенное среднее. «Отклонения от среднего – флуктуации – случайны в том смысле, что из условий, в которых находится система, совсем не следует, что в данный момент отклонение от среднего имеет определенную величину. Статистические законы позволяют вычислять только вероятность того или иного отклонения, а также дисперсию, т. е. среднее значение квадрата отклонения величины от ее среднего. Вместе с тем ... флуктуации являются формой проявления необходимости. Именно совокупность случайных мгновенных состояний системы выявляет необходимое среднее. Сам факт существования флуктуации в рамках статистических закономерностей необходим.» [17].
Связь необходимого и случайного, воплотившаяся в статистических законах, «подтверждает знаменитое высказывание Гегеля, приведенное Ф. Энгельсом в «Диалектике природы», о том, что случайное необходимо, что необходимость сама определяет себя как случайное и что, с другой стороны, случайность есть абсолютная необходимость.» [17].
«Формулировка К. Маркса - «необходимость пробивает себе дорогу сквозь толщу случайностей» - наилучшим образом характеризует отношение необходимого и случайного в статистическом законе.» [18].
Прекрасной иллюстрацией этих высказываний являются статистические законы физики, в которых связь необходимого и случайного облекается в количественные со-
отношения. Следует подчеркнуть, что во времена Маркса и Энгельса, а тем более Гегеля, эти законы физики еще не были открыты.
Связь необходимого и случайного удобно разобрать на примере закона распределения молекул по скоростям, открытого Максвеллом. Необходимо подчеркнуть, что распределение Максвелла является наивероятнейшим, т. е. в каждый произвольный момент времени фактическое распределение может отличаться от установленного законом. Этот закон осуществляется лишь в среднем. Иными словами, распределение Максвелла дает среднее число молекул, скорости которых лежат в узком интервале скоростей dv около произвольно выбранного значения скорости v. Именно средние значения числа частиц того или иного сорта (с выбранными значениями скоростей) осуществляются с необходимостью. Реальное же число частиц данного сорта в произвольный момент времени случайно, т. е. может быть и больше и меньше среднего. Это происходит потому, что скорость каждой молекулы в каждый данный момент имеет случайное значение по отношению к средней скорости. Можно сказать, что необходимость (среднее значение) определяет себя через случайность (множество случайных мгновенных значений), а случайность осуществляется с необходимостью, так как значения скоростей молекул определяются ударами со стороны других молекул. Таким образом, в произвольный момент времени отклонение от среднего распределения случайно в том смысле, что внешние условия, в которых находится газ, никак не определяют характер этого отклонения в данный момент. В то же время оно необходимо в том смысле, что причинно обусловлено и представляет собой объективную реальность. Совокупность реальных случайных распределений с необходимостью определяет наивероятнейшее распределение (распределение Максвелла) благодаря тому, что отклонения этих реальных распределений от среднего осуществляются с равной вероятностью в обе стороны. Именно поэтому среднее существует. Такая ситуация – характерный признак равновесной системы. Итак, «необходимость, выступающая в статистических законах как среднее бесчисленного множества случайных состояний, в динамических законах рассматривается как нечто строго и однозначно определенное. Тот факт, что почти все фундаментальные теории современной физики являются статистическими и содержат в качестве приближения соответствующие динамические теории, свидетельствует об отражении статистическими теориями необходимых связей, присущих природным явлениям. В статистической закономерности необходимое и случайное столь тесно переплетены между собой, что их можно рассматривать как отражение в нашем соз-
нании противоречивых тенденций объективной закономерности. Закономерность же представляет собой их единство с преимущественным значением необходимого.» [19].
Статистические законы включают в себя определенные динамические элементы. При заданной полной энергии системы произвольное начальное состояние системы однозначно связано с ее конечным состоянием. В этом проявляется один из динамических элементов статистического закона и отражается наличие определенной внутренней необходимости в развитии системы. Другими важными динамическими элементами статистических теорий являются законы сохранения.
При изучении статистической физики имеет большое значение правильное понимание термина «равновесное состояние». Следует также четко представлять себе характер процессов, приводящих к установлению равновесия в системе, изолированной в какой-то момент времени от внешних воздействий, которые нарушали равновесие. Опыт показывает, что в замкнутом сосуде, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре, спустя некоторое время устанавливается состояние, характеризуемое неизменными значениями макропараметров (температуры, давления и др.). В равновесной системе отсутствуют какие-либо потоки, т. е. преимущественные направления движения частиц, и осуществляется одно и то же максвелловское распределение частиц по скоростям их теплового движения. Система, достигшая равновесия, обладает замечательным свойством – распределение частиц по скоростям (соответственно, распределения по импульсам и энергиям) не изменяется с течением времени. Хотя каждая отдельная частица изменяет свою скорость достаточно часто, сталкиваясь с другими частицами, среднее число частиц, которые обладают скоростями, заключенными в произвольно выбранном интервале, остается постоянным.
Самое замечательное заключается в том, что при данной температуре одно и то же равновесное состояние устанавливается совершенно независимо от того, в каких условиях находились частицы системы первоначально. Система «забывает» свою историю [20]. Поэтому на основе изучения распределения частиц системы в состоянии равновесия нельзя ничего сказать о том, в каком состоянии система была раньше. Независимо от начального распределения, частицы сталкиваются между собой и изменяют свои скорости, в результате чего очень скоро (и тем скорее, чем больше частиц) устанавливается равновесное распределение. Удивительно, что состояние равновесия не зависит не только от того, как именно сталкиваются частицы, но и от частоты столкновений. Если частицы сталкиваются редко, установление равновесия происходит медленно, если они сталкиваются часто, равновесие устанавливается быстро. Частота столкновений
определяет скорость установления равновесия. Равновесное состояние можно назвать молекулярным «хаосом» [21].
История системы распадается на два периода. В первый период, соответствующий неравновесным состояниям системы, чрезвычайно велика роль столкновений, так как именно благодаря им система приближается к равновесию. После же установления равновесия столкновения уже ничего не меняют. Поэтому в равновесной системе их можно не рассматривать.
Распределения по скоростям, зафиксированные в равновесной системе в разные моменты времени, носят случайный характер, но, усредненные за тот или иной промежуток времени, значительно превосходящий продолжительность свободного пробега частиц системы, дают одно и то же равновесное распределение. В процессе установления равновесия мгновенные распределения также имеют случайный характер. Однако среднее распределение, взятое в этом процессе для одинаковых по величине интервалов времени, но с разными началами отсчета, отличаются друг от друга. Это усредненное распределение постепенно приближается к равновесному, теряя черты, которые отражают результаты внешних воздействий, первоначально нарушивших равновесие.
Большой интерес представляет анализ процесса установления равновесия. Этот период трудно описать аналитически, так как нужно было бы решить систему из огромного числа уравнений с большим количеством неизвестных.
До сравнительно недавнего времени процессы в неравновесной системе рассматривались приближенно при условии, что отклонение системы от равновесия мало. С развитием вычислительной техники появились новые возможности. Оказалось, что быстродействующие электронные счетные машины можно использовать для получения интересной и полезной информации о движении большого числа взаимодействующих частиц. Например, в одной из работ [22] рассматривалось движение 100 твердых сферических частиц в ящике кубической формы. Предполагалось, что первоначально все частицы имели скорости, одинаковые по модулю, но случайные по направлению. Было показано, что после того, как все частицы в совокупности претерпели 150 столкновений (по 3 столкновения, в среднем, на каждую частицу), устанавливалось приближенное равновесие, хотя еще имели место довольно большие флуктуации.
Завершая раздел, надо упомянуть о физической кинетике, также использующей статистические методы, но уже для систем, находящихся в неравновесных состояниях (проводимость, явления переноса). Здесь важно подчеркнуть «борьбу» противоположностей – порядка и хаоса. Классическая физическая кинетика приобрела особо важное
значение в физике плазмы. Фундаментальное уравнение кинетики плазмы по справедливости называется уравнением А. А. Власова – советского физика, впервые его получившего. Общее признание получили работы в той же области советских физиков Л. Д. Ландау, Н. Н. Боголюбова и их учеников. К сожалению, содержание этих работ выходит далеко за пределы общего курса физики.
Квантовые статистики
При изложении этого раздела следует указать на то, что использование квантовых статистических теорий оказывается необходимым для систем, в которых вероятность того, что две частицы с почти одинаковыми импульсами окажутся достаточно близко друг от друга, существенно отлична от нуля. Под словами «достаточно близко» следует понимать расстояние порядка неопределенности в координате каждой частицы. В такой ситуации оказывается очень важным, каково значение спина частиц системы. Если частицы имеют полуцелочисленный спин (электроны, протоны, нейтроны и др.), то они подчиняются принципу Паули, согласно которому в системе не может быть двух частиц в одном квантовом состоянии, т. е. с очень близкими значениями импульсов, координат и одинаковой проекцией спина на произвольную ось. Для систем, состоящих из таких частиц, называемых фермионами, справедлива квантовая статистика ФермиДирака.
Совсем иначе ведут себя коллективы частиц с целочисленным значением спина, называемых бозонами (например, системы фотонов, фононов, альфа-частиц и др. микрочастиц, состоящих из четного числа фермионов, и т. д.). Системы бозонов описываются квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Бозоны обладают свойством, в некотором смысле противоположным свойству фермионов, – чем больше бозонов скопилось в данном квантовом состоянии, тем больше вероятность появления новых таких же частиц. Проявление этого свойства можно проиллюстрировать на примере вынужденного испускания фотонов, на котором основана работа лазеров. Чем больше плотность энергии излучения данной частоты в объеме, содержащем возбужденные атомы, т. е. чем больше фотонов в данном квантовом состоянии, тем вероятнее излучательные переходы атомов, в которых рождаются новые аналогичные фотоны. Это же свойство бозонов лежит в основе таких явлений, как сверхпроводимость металлов и сверхтекучесть гелия.
Как видно из предыдущего, применение квантовых статистик необходимо тогда, когда неопределенность в координате частицы становится сравнимой со средним рас-