равен сумме квадратов. Таким образом, мы опять сталкиваемся с изменением содержания классических понятий в квантовой физике, т. е. с проявлением диалектического «движения» понятий.
Уравнение Шредингера
Отмечая особенности построения квантовой механики, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц пишут: «Обычно более общая теория может быть сформулирована логически замкнутым образом независимо от менее общей теории, являющейся ее предельным случаем. Так, релятивистская механика может быть построена на основании своих основных принципов без всяких ссылок на ньютоновскую механику. Формулировка же основных положений квантовой механики принципиально невозможна без привлечения механики классической». [13]. «Таким образом, квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий – она содержит классическую механику как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом предельном случае для самого своего обоснования.» [14].
Вводя общее уравнение Шредингера, следует отметить, что это уравнение ни откуда не выводится, а является постулатом, обобщающим ряд экспериментальных и теоретических результатов предыдущего развития физики. Надо также указать на существенные отличия общего уравнения Шредингера от классического волнового уравнения: кроме того, что в коэффициент этого уравнения входит квантовая постоянная Планка, оно содержит первую, а не вторую производную по времени, и в один из коэффициентов входит мнимая единица. Последнее обстоятельство делает полную волновую функцию (зависящую от координат и времени) обязательно комплексной величиной, что не имеет аналога в классической физике и подтверждает весьма своеобразную неклассическую природу волн де Бройля.
В квантовой механике состояние объекта описывается волновой функцией. Поэтому общее уравнение Шредингера позволяет сформулировать квантово-механический принцип причинности или детерминизма, не менее четкий, чем в классической физике, но оперирующий совсем другими понятиями. Если задан вид волновой функции в начальный момент времени, то общее уравнение Шредингера дает возможность точно определить вид этой функции в любой последующий момент времени. «Таким образом, квантовая механика дает причинное описание изменения системы во времени.» [15].
Переходя к уравнению Шредингера для стационарных состояний, стоит отметить его полное сходство с классическим волновым уравнением. Отсюда вытекает сходство
квантования энергии в стационарных состояниях с дискретностью собственных значений параметров классического волнового уравнения (стоячие волны). Даже в классике проблемы такого типа приводили к единству дискретности и непрерывности, что послужило для Шредингера одним из указаний при построении основ квантовой механики. Важно отметить, что уравнение Шредингера превратило первый постулат Бора просто в следствие свойств решений этого уравнения при заданных граничных условиях. Тем самым возросло единство квантово-полевой картины мира.
Со вторым постулатом Бора дело обстоит гораздо сложнее. В квантовой механике теория взаимодействия атома с электромагнитным излучением носит полуклассический характер. В ней атом представляет квантовый объект, излучение – классический, т. е. электромагнитную волну. Полуклассическая теория дает возможность правильно рассчитать вероятности переходов атома между стационарными состояниями и обосновать второй постулат Бора (условие для частот), но, строго говоря, только для вынужденных переходов, вызванных действием излучения на атом. Более полная теория, охватывающая и спонтанные переходы, составляет часть релятивистской квантовой теории, учитывающей квантовые свойства не только атома, но и излучения. В большинстве расчетов для практических целей используется полуклассическая теория (например, при расчете лазера).
Интересно отметить ход развития данного раздела физики. Классическая физика запрещала существование стационарных состояний атома. В то же время из нее следовала необходимость возникновения спонтанного испускания излучения возбужденным атомом за счет ускоренного движения электрона. Нерелятивистская квантовая механика, наоборот, потребовала существования стационарных состояний, но даже в полуклассическом варианте не смогла, строго говоря, объяснить наличие спонтанных переходов. Наконец, релятивистская квантовая теория, включающая квантовую электродинамику, сумела охватить и стационарные состояния и все виды переходов между ними. Однако, как указывалось в начале раздела, релятивистская квантовая теория является незавершенной.
Квантовая механика атома сняла противоречия, имевшиеся в теории Бора, но одновременно дала объяснение эффективности, орбитальной модели. Здесь опять проявился принцип соответствия. Вероятность обнаружить электрон оказалась максимальной там, где проходила боровская орбита. В тех случаях, когда модель Бора приводила к противоречиям с опытом, квантовая механика дала правильные результаты (например, сферическая симметрия многих состояний атома, невозможная в орбитальной модели).
Для всех атомов, более сложных, чем водород, теория Бора приводила к результатам, которые количественно сильно отличались от экспериментальных данных. На основе квантовой механики были разработаны методы расчета сложных атомов, дающие высокую точность. Особенно эффективен метод Хартри-Фока, в создании которого сыграл решающую роль известный советский физик В. А. Фок. Самые парадоксальные выводы квантовой механики не только подтвердились на опыте, но и нашли практическое применение.
Говоря о выводе Эйнштейном формулы Планка, следует обратить внимание на то, что, казалось бы, новый вывод уже известной формулы не может дать существенно новых результатов. Однако в процессе этого вывода Эйнштейну пришлось выдвинуть гипотезу о существовании неизвестных ранее процессов вынужденного излучения, оказавшуюся необычайно плодотворной в практическом отношении. На использовании этих процессов основано действие квантовых генераторов – мазеров и лазеров. Приоритет в создании лазеров принадлежит советским физикам Н. Г. Басову и А. М. Прохорову и американскому физику Ч. Таунсу.
ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Особенности статистических закономерностей
Со статистическими закономерностями студенты знакомятся в курсе общей физики впервые в разделе «Молекулярная физика». При этом необходимо обратить внимание на то, что в системах, состоящих из очень большого числа частиц, обнаруживаются совершенно новые закономерности, требующие вероятностного подхода.
При изложении закона распределения частиц идеального газа по скоростям – закона распределения Максвелла, студенты получают представление о том, что такое функция распределения, и о том, что с помощью такой функции можно описывать газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия, которое устанавливается самопроизвольно в замкнутом сосуде, если его стенки поддерживаются при постоянной температуре. При изучении максвелловского распределения студенты должны понять, что возникновение этой новой наблюдаемой закономерности – типичный пример перехода количества в качество: чем больше частиц в системе, тем труднее описывать их движение динамически, но зато тем правомернее использование вероятностных законов – определяемые закономерности имеют более достоверный характер. Рассмотрим
подробнее переход от системы, состоящей из нескольких молекул, к большой системе, соответствующей газу, заполняющему некоторый объем. Представим себе, что в замкнутом объеме с зеркальными стенками находятся первоначально одна, две, три молекулы. Вероятность столкновения молекул между собой очень мала, они беспрепятственно двигаются от стенки к стенке; при этом удары носят вполне упорядоченный характер.
С ростом числа частиц в системе все труднее следить за судьбой отдельной молекулы, ее состояния меняются все чаще из-за столкновений и предсказать дальнейшее их изменение все труднее – первоначальный «порядок» заменяется «беспорядком». Хаотическое в общем движение частиц характеризуется большими относительными выбросами: то тут, то там образуются значительные скопления частиц и области разряжения, стенки испытывают беспорядочные удары со стороны молекул газа. Если число частиц увеличить во много тысяч раз, то начинают проявляться особенности статистических систем: распределение частиц по объему оказывается вполне упорядоченным (равномерным в отсутствие внешнего силового поля), непрерывные многочисленные удары молекул о стенки сосуда обеспечивают постоянство давления. «Беспорядок», наблюдаемый при небольшом количестве частиц в системе, заменяется новым «порядком».
Следует однако помнить, что из статистической теории, наряду с существованием устойчивых средних величин, с необходимостью вытекает наличие флуктуаций, имеющих важное значение для поведения газа и не учитываемых в термодинамике.
Более глубоко статистические закономерности изучаются в разделе «Основы строения вещества», где сначала излагаются элементы квантовой механики, а затем – элементы классической и квантовых статистических теорий. Отметим, что, если статистическая сущность квантовой механики отражает характер поведения, свойственный природе отдельных микрочастиц, то законы статистической физики являются таковыми благодаря тому, что предметом рассмотрения в ней служат системы, которые состоят из огромного числа частиц, находящихся в состоянии непрерывного хаотического движения.
Следует указать на основные отличия статистических закономерностей от динамических, дать четкое представление о роли тех и других при описании поведения объектов природы. С физической точки зрения статистические законы отличаются от динамических содержанием понятия состояния системы. В динамических теориях состояние задается точными значениями полного набора всех основных физических величин (в механике Ньютона – координат и импульсов всех частиц). В статистических же тео-
риях состояние задается не значениями самих физических величин, а законами их распределения, которые дают вероятности того, что какие-либо физические величины принимают те или иные значения. Сами же величины считаются случайными, т. е. не обязательно имеют определенные значения при заданных внешних условиях.
В каждый данный момент набор координат и импульсов частиц, составляющих систему, определяет микросостояние системы. Эти координаты и импульсы (микропараметры) непрерывно изменяются, осуществляя различные микросостояния системы. С другой стороны, состояние той же системы часто может быть охарактеризовано по ее внешним проявлениям, фиксируемым с помощью обычных макроскопических приборов. Такими измеряемыми величинами могут быть, например, объем, давление, температура, которые называются макроскопическими параметрами системы. Одним и тем же значениям макропараметров, т. е. одному макросостоянию системы, соответствует, вообще говоря, большое число различных микросостояний системы. В статистических законах устанавливаются вероятности обнаружения системы в определенном состоянии, задаваемом интервалами интересующих нас физических величин (микропараметров). В отличие от динамических законов, здесь с самого начала считается, что нельзя так задать состояние системы, чтобы дальнейшая ее эволюция была однозначно предрешена.
Важно, подчеркнуть, что динамические законы не являются более точным описанием явлений природы, чем статистические, как это может показаться на первый взгляд. Напротив, абстрагируясь от случайных отклонений от среднего, которые характерны для любых явлений природы, динамические законы описывают реальные процессы приближенно. Так, например, рассматривая задачу о столкновении двух биллиардных шаров – задавая начальные и определяя конечные положения и скорости их центров инерции – мы не учитываем того, что каждый шар состоит из огромного числа непрерывно движущихся и взаимодействующих атомов, благодаря чему ни положение, ни скорость центра инерции не могут быть точно заданы ни в начальный, ни в конечный моменты времени. Динамический закон оперирует с усредненными величинами.
При поверхностном подходе может показаться, что в динамических закономерностях ярче просматриваются причинно-следственные связи, чем в статистических. Иногда высказывается даже такое глубоко ошибочное мнение, что статистические соотношения свидетельствуют об отсутствии причинно-следственных связей в описываемых явлениях. Причинно-следственные связи в статистических законах, а также взаимодействие необходимого и случайного подробно анализируются в монографии [16]. Автор