Дифракция Фраунгофера на дифракционной решётке с периодом d, шириной прозрачного промежутка b и числом штрихов N: условия главных максимумов
d sinθ = ±mλ , m = 0, 1, 2, 3, …;
главных минимумов
bsinθ = ±kλ , k = 1, 2, 3, …;
побочных минимумов
sinθ = Ndpλ , p = 1, 2, 3, …, N – 1, N + 1, …, 2N – 1, … кроме 0, N, 2N, 3N, …
Спектральная разрешающая способность дифракционной решётки
δλλ = mN ,
где δλ – наименьшая разность двух соседних спектральных линий λ, λ + δλ, при которых эти линии могут быть видны раздельно в спектре дифракционной решётки, N – полное число штрихов решётки, m – порядковый номер главного дифракционного максимума.
Угловая разрешающая способность объектива телескопа
β =1,22 Dλ ,
где β – наименьшее угловое расстояние между двумя светящимися точками, при котором их дифракционные изображения в фокальной плоскости телескопа видны раздельно, D – диаметр объектива телескопа.
Примеры решения задач
Пример 3.1
На длиннофокусную собирающую линзу с круглой ирисовой диафрагмой падает параллельный пучок монохроматического света длиной волны λ. На расстоянии а от линзы помещен экран, на котором наблюдаются дифракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы центр колец будет темным и при каких светлым, если фокусное расстояние линзы равно f (a < f)?
РЕШЕНИЕ
Рис. 3.1
Тёмным или светлым будет центр колец – зависит от числа зон Френеля, видимых из точки наблюдения. На линзу по условию падает параллельный пучок, поэтому за линзой этот пучок собирается в главном фокусе F. Тогда можно представить, что на диафрагму радиусом r (рис. 3.1.) падает сходящаяся световая волна со сферическим волновым фронтом радиусом f с центром в точке F. Если из точки наблюдения Р провести вспомогательные сферические поверхности, радиусы которых отличаются на λ/2, то при пересечении с волновой поверхностью получатся зоны Френеля, имеющие форму сферических колец. Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии диафрагмы,
будет равно длине отрезка CD, делённой на λ/2. |
||||
Из рис. 3.1 |
видно, что CD = |
DM – |
MC, |
DM = ρ − a = a2 + r 2 − a , |
MC = f − f 2 − r 2 |
, откуда получаем CD = |
a2 + r 2 |
− a − f + |
f 2 − r 2 . Используем тот |
факт, что величины (r/a)2 и (r/f)2 достаточно малы и можно применить приближённое
равенство 1 |
+α ≈1+ |
α |
, где α – малая величина. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
2 |
r |
2 |
r |
2 |
r |
2 |
r |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
CD = a 1+ |
− a − f |
+ f 1− |
= |
− |
= |
1 |
− |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2a |
2 |
2 f |
2 |
2a 2 f |
2 |
f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CD |
r 2 |
1 |
1 |
r 2 (f − a) |
r 2 |
(f − a) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Число зон Френеля равно |
m = |
= |
− |
= |
= |
0 |
, где r0 – радиус |
||||||||||||||||||||||||||||||||
λ 2 |
λ |
f |
λaf |
λaf |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диафрагмы. При чётных m центр колец будет тёмным, а при нечётных m – светлым.
Пример 3.2
РЕШЕНИЕ
Рис. 3.2
Ширина щели, освещаемой нормально падающим монохроматическим светом с длиной волны λ = 0,45 мкм, равна b = 0,15 мм. С помощью линзы дифракционная картина наблюдается на экране в фокальной плоскости линзы. Найти ширину центрального максимума, если оптическая сила линзы 5 дптр.
Ширина центрального максимума определяется расстоянием между двумя минимумами первого порядка слева и справа от центра дифракционной картины, поэтому
∆x = 2x1 = 2 λbf =1,2 мм,
где f = 0,2 м – фокусное расстояние линзы.
Пример 3.3
Дифракционная решётка шириной 5 мм может разрешить в первом порядке две спектральные линии натрия λ1 = 576 нм и λ2 = 582 нм. Найти общее число штрихов дифракционной решётки и угол, под которым будет наблюдаться максимум третьего порядка для длины волны λ3 = 600 нм.
РЕШЕНИЕ
Разрешающая способность решетки δλλ = m1 N , где m1 = 1 (первый порядок спек-
тра), N – общее число штрихов, δλ = λ2 – λ1 = 6 нм. Отсюда получаем
N = |
λ |
= |
576 |
= 96 штрихов. |
|
δλ m |
6 |
||||
1 |
Для ответа на второй вопрос задачи необходимо найти период решётки d = L/N, где L – ширина решётки. Тогда угол, под которым будет наблюдаться максимум третьего порядка (m2 = 3), определяется по формуле
sinθ3 = λd m2 = 3λLN = 0,0346 , θ3 ≈ 2°.
Задачи
3.1.Точечный монохроматический источник света (длина волны λ = 0,5 мкм) расположен на расстоянии 0,5 м от плоского экрана с круглым отверстием диаметра 0,5 мм на оси, перпендикулярной плоскости экрана и проходящей через центр отверстия. На каком наибольшем расстоянии от отверстия на этой оси расположена точка, в которой интенсивность света максимальна?
3.2.Точечный источник монохроматического света длины волны 0,5 мкм находится на расстоянии 6,75 м от ширмы с круглым отверстием. На таком же расстоянии от ширмы расположен экран. Найти число зон Френеля, укладывающихся в отверстии ширмы, если диаметр отверстия равен: а) 4,5 мм; б) 5,2 мм. При каком из диаметров интенсивность света в точке наблюдения больше? Точка наблюдения расположена на оси светового пучка. Ось пучка перпендикулярна плоскости ширмы и проходит через середину отверстия.
3.3.На круглое отверстие радиуса r = 1 мм в непрозрачном экране падает нормально параллельный пучок света с длиной волны λ = 0,5 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Найти максимальное расстояние от отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться тёмное пятно (уменьшение интенсивности света).
3.4.На зонную пластинку падает плоская волна. Вычислить радиус m-й зоны Френеля. Найти радиус первой зоны при b = 10 м, λ = 0,45 мкм.
3.5.Какова будет интенсивность света в фокусе зонной пластинки, если закрыть все зоны, кроме первой? Интенсивность света без пластинки равна I0.
3.6.Какова будет интенсивность света в фокусе зонной пластинки, если закрыть всю пластинку, кроме верхней половины первой зоны? Интенсивность света без пластинки равна I0.
3.7.На щель шириной b = 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ = 0,6 мкм). Найти ширину центрального максимума
(расстояние между минимумами первого порядка), если дифракционная картина проектируется на экран при помощи линзы с фокусным расстоянием f = 1 м.
3.8.Записать условия дифракционных максимумов и минимумов для щели, помещённой в воду (показатель преломления воды n). Как качественно изменится дифракционная картина в воде по сравнению с картиной в воздухе?
3.9.Монохроматический свет падает нормально на щель ширины b = 10 мкм. За щелью расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием f = 150 мм, в фокальной плоскости которой расположен экран. Расстояние между минимумами третьего порядка на экране равно х = 50 мм. Найти длину волны падающего света.
3.10.Свет с длиной волны λ = 0,5 мкм падает на щель ширины b = 10 мкм под углом θ0 = 30° к её нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
3.11.Плоская световая волна с длиной волны 0,60 мкм падает нормально на грань стеклянного клина с преломляющим углом 15°. На противоположной непрозрачной грани имеется щель ширины 10 мкм, параллельная ребру клина. Найти угловую ширину фраунгоферова максимума нулевого порядка.
3.12.Сколько штрихов на миллиметр содержит дифракционная решётка, если при наблюдении в монохроматическом свете (длина волны 0,6 мкм) главный максимум пятого порядка отклонён на угол 18°?
3.13.На дифракционную решетку нормально к её поверхности падает параллельный пучок лучей с длиной волны 0,5 мкм. Дифракционная картина проецируется линзой на плоский экран, расположенный в фокальной плоскости линзы и удаленный от неё на 1 м. Расстояние между двумя главными максимумами первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см. Найти : а) период дифракционной решётки; в) число штрихов на 1 см.
3.14.На дифракционную решётку, содержащую 500 штрихов/мм, падает нормально белый свет. Линзой с фокусным расстоянием 3 м спектр проецируется на экран. Найти расстояние на экране между концом спектра первого порядка и началом спектра второго порядка. Границы видимого спектра принять равными: 780 нм – красный цвет, 400 нм – фиолетовый цвет.
3.15.Дифракционная решётка содержит 200 штрихов на мм. На решётку падает нормально монохроматический свет (длина волны 0,6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка даёт эта решётка? Чему равен угол отклонения лучей, соответствующий последнему дифракционному максимуму? Ширина щели дифракционной ре-