Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1598-1603

§ 3. Потенциальная яма. Потенциальный барьер

I. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины

1. Классический аналог
Предположим, что шарик массы m, нанизанный на	l
стержень, может двигаться между двумя абсолютно упру- 0	x
гими стенками, расстояние между которыми l. Если сооб-	m
гими стенками, расстояние между которыми l. Если сооб-

щить шарику некоторую скорость v, то он будет участво-

вать в периодическом движении, меняя направление скорости при каждом упругом ударе о стенку. При этом шарику можно сообщить любое значение энергии. Зависимость потенциальной энергии шарика от координаты x можно представить в виде следующего графика:

U

0	U = 0	x

2. Квантовая задача

Рассмотрим одномерное движение микрочастицы в пространстве, ограниченном непрозрачными стенками. Нас не интересует, как можно технически осуществить такое

движение. Нам нужно выяснить, что мы получим в		U
результате решения уравнения Шрёдингера в этом
случае.	I	II		III
Зависимость потенциальной энергии частицы U
	UI → ∞ UII =0			UIII → ∞
от координаты x имеет вид:
				x
Разобьём всё пространство на три части:		0	l

ψI = 0, – туда частица попасть не может.

ψIII = 0,

Так как задача одномерна, ∆ = ∂22 . Кроме того, во второй области UII = 0. Уравне-

∂x

ние Шрёдингера для второй области

∂2ψII + 2m (W − 0)ψII = 0 . ∂x2 h2

Здесь W – полная энергия частицы.

Введём обозначение k 2 = 2hm2 W . Тогда

∂∂2ψ2II + kψII = 0 .

x

Решение будем искать в более привычном для нас виде

ψII (x)= Asin kx + Bcoskx .

Условие непрерывности, налагаемое на волновую функцию, даёт

ψII (0)=ψI (0)= 0 ;

ψII (0)= Asin 0 + Bcos0 = 0 .

Отсюда B = 0. В результате

ψII (x)= Asin kx .

Условие непрерывности на второй границе при x = l:

	ψII (l)=ψIII (l)= 0
даёт
Asin kl = 0	либо A = 0,	ψ ≡ 0, частицынетогдавямe;
Asin kl = 0		либоsin kl = 0.
		либоsin kl = 0.

Итак, sin kl = 0, тогда

kl = рn , где n = 1, 2, 3, … (n ≠ 0, т. к. тогда ψ ≡ 0 и частицы нет). Отсюда

k = рln , где n = 1, 2, 3, … .

Тогда

ψII (x)= Asin

рn

x .

l

Значение A можно найти из условия нормировки

+∞

2

l

2

l

2

рn

∫

dx = ∫

dx = ∫A

ψ

ψII

sin

x dx =1.

l

−∞

0

Отсюда A =	2 .
	l
Окончательно для ψ-функции получим следующее выражение:
	ψII (x)=	2 sin	рn x .
		l	l

Однако нахождение волновой функции не является самоцелью в квантовой механике. Самое интересное заключается в другом.

Следствия из уравнения Шрёдингера

1-е следствие

Вероятность нахождения микрочастиц в разных точках пространства не одинакова.

2

2 рn

Плотность вероятности

ψ

=

sin

x .

l

При n = 1

|Ψ|2

У границ ямы при

x = 0

|ψ|2 = 0.

x = l

0

l

x

При n = 2

|Ψ|2

У границ ямы при

x = 0

и в середине ямы x = l/2 веро-

x = l

0

l

x

ятность обнаружения частицы равна нулю!

При n = 3

|Ψ|2

0

	и т. д.
	Обращение в ноль вероятности обнаружения части-
	цы (например, в середине ящика) с классической точки
l	x зрения совершенно не приемлемо.

2-е следствие

Наиболее интересным является следующий вывод: энергия микрочастицы, находящейся в потенциальной яме, может принимать только дискретный ряд значений, т. е. энергия частицы квантована.

W

n = 4

Действительно,

в

ходе

решения

мы получили условие

рn

2m

k =

. Так как

k 2

=

W , то отсюда

l

h2

W3

n = 3

W =

h2

р 2

n

2

, где n = 1, 2, 3, … и n ≠ 0.

2m l

W2

n = 2

Энергия принимает дискретный ряд значений и никогда не об-

W1

n = 1

ращается в ноль! Энергия квантована.

Расстояние между энергетическими уровнями

h2

р

2

h

2

р 2

∆W =Wn+1 −Wn =

[(n +1) − n

]≈

n ,

2m

l

2m

l

т. е. пропорционально n.

Численная оценка

Электрон, m ≈ 10-30 кг. При ширине ямы l = 1 см ∆Wn ≈ 10-14n (эВ). Квантуемость не наблюдается (практически сплошной спектр энергии).

При ширине ямы l = 1 Å (10-10 м) ∆Wn ≈ 68n (эВ). Энергия квантована!

II. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины (туннельный эффект)

Рассмотрим другой, реальный случай, имеющий, кроме того, и техническое применение.

1. Классический аналог

Шайба, движущаяся со скоростью v, въезжает

на ледяную горку. Пусть U0 – высота потенциаль-			v	v0
на ледяную горку. Пусть U0 – высота потенциаль-
ного барьера. Если	mv2	>U0 , частица преодоле-
ного барьера. Если	2	>U0 , частица преодоле-
	2

вает барьер. Если m2v2

W
I	II	III
UI = 0	UII ≠ 0	UIII = 0
0		l

2. Квантовая задача

Рассмотрим аналогичную «горку» для микрочастицы. Такая «горка» может быть создана для электрона, например, электрическим полем. Легче решать задачу, если барь-

x ер имеет прямоугольную форму.

Пусть U – высота барьера, l – его ширина. Если энергия частицы W > U, то частица преодолеет барьер, но есть вероятность отражения. Если W < U, то частица отражается, но есть вероятность «просачивания» сквозь барьер. Найдём эту вероятность. Пусть

W < U.

Для упрощения решения задачи рас-

W

смотрим полубесконечный барьер, т. е. пусть

l → ∞. Разобьём пространство на две облас-

ти:

I

II

U

UI = 0,

0

x

UII =U.

Кроме того, задача одномерна, поэтому ∆ =

∂2

.

∂x2

Уравнение Шрёдингера для области I:

∂2ψI

+

2m

(W − 0)ψI = 0 .

∂x2

h2

Для области II:

∂2ψII

+

2m

(W −U )ψII = 0 .

∂x2

h2

При W < U будет W – U < 0. Введём обозначения

k 2 =

2m

W и α 2 =

2m

(U −W )> 0 !

h

2

h

2

Получим два уравнения

ψI′′+ k 2ψI 2 = 0,

′′

2

−α ψI

= 0.

ψII

Решение уравнений ищем в виде ψ = eλx. Тогда ψ ′′ = λ2eλx . Получим

2

λx

2

λx

2

λI e

+ k

e

= 0, или

λI + k

= 0,

λ2IIeλx −α 2eλx = 0

λ2II −α 2 = 0,

откуда

λI = ±ik

,

λII

= ±α.

Тогда

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: