Материал: МЭИ(ТУ) Физика

w = ε0εE 2 (x, y, z,t).

Тогда энергию в объёме пространства dV можно представить двумя способами:

Квадрат модуля амплитуды электромагнитной волны определяет плотность вероятности попадания фотона в данную точку пространства.

Данная вероятностная картина реализуется при большом hν числе фотонов в виде картины распределения интенсивности света на экране. Так при дифракции на одной щели при большом числе фотонов мы наблюдаем дифракционную картину, а при малом числе фотонов каждый из фотонов, претерпев дифракцию, попадает в ту или иную точку экрана согласно вероятности этого события.

II. Гипотеза де Бройля

Де Бройль пришёл к выводу, что корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т. е. все микрочастицы обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, каждой движущейся частице можно поставить в соответствие некоторый волновой процесс (волны де Бройля), который характеризуется длиной волны

λ = hp ,

(здесь h = 6,6·10-34 Дж·с – постоянная Планка, p – импульс частицы) и частотой

ν = Wp ,

(здесь W – энергия частицы).

Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля |A|2 определяет плотность вероятно-

сти нахождения частицы в данной области пространства.

Следует отметить, что волна де Бройля – это не электромагнитная волна. Аналога волны де Бройля в классической физике нет.

Тогда корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества можно сформулировать

так:

1.Любая микрочастица обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами.

2.Корпускулярные свойства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы в малом объёме.

3.Волновые свойства определяются характером движения частицы в пространстве. Каждой частице ставится в соответствие волновой процесс. Квадрат модуля амплитуды этой волны определяет плотность вероятности попадания частицы в данную область пространства.

III. Опытные обоснования гипотезы де Бройля

Почему волновые свойства частицы не наблюдаются в обыденной жизни?

Пусть пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Длина волны де Бройля

Условия наблюдения дифракционной картины, в которой проявляются волновые свойства частицы, заключаются в том, что ширина щели или размеры препятствия, которое огибает волна, должны быть соизмеримы с длиной волны де Бройля. При такой малой длине волны ни о какой дифракционной картине речи быть не может.

Если же рассмотреть электрон, который прошёл ускоряющую разность потенциалов U = 150 В, то для него

Период кристаллической решётки d ≈ 1 Å. Следовательно, можно наблюдать дифракционную картину при дифракции электронов на узлах кристаллической решётки.

Соответствующие опыты были поставлены в 1927 г. Дэвиссоном и Джермером. Поток электронов из электронной пушки падал на поверхность заземлённого кристалла

никеля под углом θ = 65° и отражался от него. Электроны, θ рассеянные монокристаллом, регистрировались приёмником.

Из теории дифракции волн известно, что при выпол-

нении условия nλ = 2d sin θ будет наблюдаться максимум отражённой волны. Опытная зависимость числа N отражённых под углом θ электронов от ускоряющей разности потенциалов (т. е. от энергии электрона) имеет вид

N

Если взять рентгеновское излучение той же длины волны, то и для него при тех же геометрических условиях наблюдается максимум для отражённой волны.

Штерн и его сотрудники наблюдали дифракцию молекулярных пучков и дифракцию нейтронов.

В 1949 г. Фабрикант, Биберман и Сушкин поставили опыт по дифракции одиночных, поочерёдно летящих электронов.

IV. Соотношение неопределённостей Гайзенберга

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества требует иного (по сравнению с классической физикой) подхода для описания движения частицы. В частности, теряет

смысл понятие координаты (а, следовательно, и траектории), скорости (а, следовательно, и импульса) частицы, так как приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Однако хотелось бы сохранить старые классические параметры.

Корректность использования классических величин в квантовой механике определяет соотношение неопределённостей Гайзенберга. Оно показывает степень точности, с какой к частице может быть применено представление о её определённом положении в пространстве.

Согласно Гайзенбергу для любой частицы нельзя с произвольной точностью одновременно определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих величин должно существовать следующее соотношение:

∆x ∆px ≥ h2 , ∆y ∆py ≥ h2 , ∆z ∆pz ≥ h2 .

Здесь ћ = h/2π.

Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными. Таковыми являются, например, энергия и время:

∆E ∆t ≥ h2 .

Приведённые соотношения являются оценочными. Мы не будем их строго выводить, но в качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

ПРИМЕР 1

Пусть в плоскости xz вдоль оси z летит частица, импульс которой равен p.

Так как мы знаем, что частица летит точно вдоль оси z, то неопределённость импульса по оси x равна нулю, т. е. ∆px = 0 (так как само значение px = 0). Попытаемся найти координату x этой частицы. Для этого перпендикулярно оси z поместим экран, в котором вырезана щель шириной ∆x. За щелью поставим приёмник. Если он сработал, то, следовательно, мы знаем, что через щель прошла частица (с точностью ∆x). Однако, пройдя через щель, частица из-за дифракции может изменить направление полёта и появится неопределённость составляющей импульса ∆px.

x

z

Величина ∆px = p sin α, где α – угол дифракции. Условие первого минимума при дифракции на одной щели имеет вид:

Так как частица может попасть в максимум более высокого порядка, чем первый,

то ∆px > ∆hx . Следовательно, ∆x·∆px ≥ h.

Этот пример описывает некоторую гипотетическую ситуацию. Интереснее рассмотреть реальный пример.

ПРИМЕР 2

Рассмотрим электрон в атоме водорода.

Склассической точки зрения электрон, теряя энергию при излучении, должен упасть на ядро. Поэтому в терминах классической физики после падения электрона на ядро его координата r = 0 и импульс pr = 0.

Сквантовой точки зрения эти термины мы можем использовать с определённой степенью точности: ∆r·∆pr ≥ ћ (двойкой пренебрежём). Так как координата меняется в