§ 2. Уравнение Шрёдингера
I. Квантовомеханическое описание состояния микрочастицы
Итак, мы должны отказаться от классического способа описания состояния частицы путём задания координаты и скорости, т. е. импульса материальной точки. В квантовой механике мы должны учесть следующее:
1.Любая микрочастица обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами.
2.Корпускулярные свойства микрочастицы обусловлены тем, что её масса, энергия и импульс локализованы в малой области пространства.
3.Волновые свойства микрочастицы определяются характером её движения в пространстве.
Для описания этого движения каждой частице будем ставить в соответствие волно-
вой процесс, который характеризуется длиной волны λ = hp и частотой ν = Wh . Этот
процесс (а вместе с ним и состояние частицы) будем характеризовать с помощью некоторого параметра, который называется пси-функцией (волновой функцией) Ψ. Псифункция, являющаяся функцией координат и времени, подчиняется уравнению, назы-
ваемому уравнением Шрёдингера:
− 2hm ∆Ш+UШ= ih ∂∂Шt .
Здесь U – потенциальная энергия частицы, ∆ – оператор Лапласа, i – мнимая единица.
4.Пси-функция (в общем случае комплексная) никакого физического смысла не име-
ет. Однако квадрат модуля пси-функции |Ψ|2 определяет плотность вероятности
попадания частицы в данную область пространства.
(В теории функций комплексной переменной |Ψ|2 = Ψ·Ψ*, где Ψ* – комплексно сопряжённая величина. Например, z = a + ib, z* = a – ib.)
Вероятность попадания частицы в объём dV равна
dP = Ш2 dV .
5.Не всякое решение уравнения Шрёдингера может выполнять роль пси-функции. Пси-функция должна удовлетворять трём условиям:
а) Ψ-функция должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных x, y, z и t.
б) Непрерывными должны быть производные Ψ-функции ∂∂Шx , ∂∂Шy , ∂∂Шz , ∂∂Шt .
в) Ψ-функция должна быть интегрируема.
+∞+∞+∞
При этом ∫ ∫ ∫ Ψ 2 dx dy dz =1. Это так назыываемое условие нормировки. Этот
−∞−∞−∞
интеграл определяет вероятность нахождения частицы во всём пространстве. Если частица существует, то это достоверный факт и его вероятность равна единице.
ПРИМЕР
Рассмотрим свободно движущуюся вдоль оси x частицу. Поставим частице в соответствие бегущую волну
ξ(x,t)= Acos(ωt − kx).
где |
|||||||||||||||
ω = 2рν = 2рW |
= W |
, |
|||||||||||||
h |
h |
||||||||||||||
2р |
2рp |
p |
2 |
p |
2 |
2mW |
|||||||||
k = |
= |
= |
т. к.W = mv |
= |
, |
= |
. |
||||||||
λ |
h |
h |
= |
2 |
2m |
h |
|||||||||
то p = |
2mW |
||||||||||||||
В результате уравнение бегущей волны примет вид
() 2mW
ξx,t = x .
h h
Втеории функций комплексной переменной есть формула Эйлера e–iφ = cos φ – i sin φ. Тогда уравнение бегущей волны в более общей форме можно записать так:Acos W t −
Ш(x,t)= Ae− |
i |
(Wt− |
2mW x) |
||||
h |
|||||||
(Re Ψ(x, t) = ξ(x, t)). Так как ea + b = eaeb, то |
|||||||
i |
i |
||||||
Ш(x,t)= Ae |
2mW x e− |
Wt . |
|||||
h |
h |
||||||
Данная волновая функция описывает свободно движущуюся частицу с энергией W в неограниченном пространстве.
II. Временнóе уравнение Шрёдингера
В 1926 г. Шрёдингер предложил уравнение, которое является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Как и законы Ньютона, это уравнение не
выводится, а постулируется. Его справедливость доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения, хорошо согласуются с опытом. (Существуют и другие, более общие подходы к решению квантовомеханических задач но в данном курсе мы их рассматривать не будем.)
Итак, временнóе (т. е. зависящее от времени) уравнение Шрёдингера имеет вид
− |
h |
∆Ш(x, y, z,t)+U (x, y, z,t)Ш(x, y, z,t)= ih |
∂Ш(x, y, z,t). |
|
2m |
||||
∂t |
Здесь ћ – постоянная Планка, m – масса частицы, Ψ(x, y, z, t) – пси-функция, ∆ – опера-
тор Лапласа (в декартовой системе координат ∆ = ∂22 + ∂22 + ∂22 ), U(x, y, z, t) – потен-
∂x ∂y ∂z
циальная энергия частицы в силовом поле, i – мнимая единица. Надо иметь в виду, что уравнение Шрёдингера справедливо для нерелятивистских частиц, т. е. при v << c, где c
– скорость света в вакууме.
III. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний
В общем случае потенциальная энергия, характеризующая силовое поле, является функцией координаты и времени. Имеется очень большой круг задач, когда поле стационарно. Тогда U = U(x, y, z) не зависит от t. В этом случае Ψ-функцию можно представить как произведение двух функций – одна зависит от координаты, другая от времени (см. пример свободно движущейся частицы):
Ш(x, y, z,t)=ψ(x, y, z)e−hi Wt .
Подставим это в общее уравнение Шрёдингера. Получим
h |
− |
i |
Wt |
− |
i |
Wt |
i |
− |
i |
Wt |
||||
− |
e h |
∆ψ +Uψe h |
= ih |
− |
W e h |
ψ . |
||||||||
2m |
||||||||||||||
h |
||||||||||||||
Отсюда
− 2hm ∆ψ +Uψ =Wψ
или
∆ψ(x, y, z)+ 2hm [W −U (x, y, z)]ψ(x, y, z)= 0 .
Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (или, для краткости, просто уравнение Шрёдингера). Здесь W – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия
частицы в силовом поле, ψ(x, y, z) – пси-функция, которая должна удовлетворять тем же условиям, что и Ψ.
ПРИМЕР
Свободно движущаяся частица с энергией W
Так как поля нет, можно считать, что в этом состоянии U = 0. Задача одномерна,
поэтому ∆ = ∂22 . Уравнение Шрёдингера примет вид
∂x
∂2ψ2 + 2m (W − 0)ψ = 0 .
∂x h
Решение будем искать в виде ψ = Aekx, где k – неизвестная константа.
ψ |
′ |
= Ake |
kx |
, |
Ak 2ekx + |
2m WAekx = 0 . |
|
ψ ′′ = Ak 2ekx |
h2 |
||||||
Отсюда
k 2 + 2hm2 W = 0
или
k = ± i |
2mW и ψ = Ae± |
i |
2mW x . |
||||||
h |
|||||||||
h |
|||||||||
Полная волновая функция |
|||||||||
Ш= Ae |
− |
i |
(Wtm 2mW x ) |
. |
|||||
h |
|||||||||
(Ср. пример, приведённый выше.) |
|||||||||
Очевидно, что реальная часть волновой функции |
|||||||||
2 |
|||||||||
ReШ= Acos W t ± |
mW |
x |
|||||||
h |
h |
||||||||
– уравнение бегущей волны.
Следовательно, решением уравнения Шрёдингера в данной ситуации является бегущая волна (см. предыдущий пример). Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 = A2. Это означает, что вероятность обнаружения частицы вдоль оси x везде одинакова, что
согласуется с соотношением неопределённостей: мы знаем энергию W = p2 , а тем са- 2m
мым и импульс, но зато не знаем координату частицы.