Материал: МЭИ(ТУ) Физика

В результате для энергии основного состояния получим

Численное значение при z = 1 W1 = –13,6 эВ, что соответствует экспериментальным данным. Значение r0 ≈ 0,529 Å.

Вероятность найти электрон в сферическом слое радиуса r толщиной dr

= ψ 2 = ψ 2 4 2 = 2 −2r 4 2 .

dP dV рr dr C e r0 рr dr

Максимум плотности вероятности находится при r = r0. Следовательно, r0 – радиус сферического слоя, вероятность нахождения электрона в котором максимальна. (Самое удивительное – электрон в этом состоянии не вращается по dP

орбите. Его орбитальный момент импульса равен нулю.) Итак, мы доказали, что электрон не падает на ядро (не

проваливается в бесконечно глубокую потенциальную яму), r r0

а находится в стационарном состоянии с конечным значением энергии.

Общее решение уравнения Шрёдингера

В общем случае для решения уравнения (1) ψ-функцию можно представить как произведение трёх функций ψ(r, θ, φ) = R(r)·Θ(θ)·Φ(φ) (метод разделения переменных). Подставив это в уравнение (1), получим три дифференциальных уравнения. Их решения достаточно сложные.

Решив эти уравнения, мы получим ограничения, накладываемые на три физических величины: 1) на энергию, 2) на момент импульса, 3) на проекцию момента импульса электрона.

Следствия из решения уравнения (1)

Первое следствие

Ограничения накладываются на возможные значения энергии электрона в атоме:

Данная формула была известна в оптике задолго до создания квантовой механики. Но теперь стал понятен её смысл. Понятным стало и происхождение оптических серий излучения атома водорода.

Серия Лаймана (ультрафиолет) образуется при переходе электрона в основное состояние (n1 = 1) с вышележащих уровней;

где n2 = 3, 4, 5, …

Серия Пашена (инфракрасное излучение) образуется при переходе электрона в состояние с n1 = 3 с вышележащих уровней;

где n2 = 4, 5, 6, …

Итак, мы имеем не только качественное но и превосходное количественное совпадение теории и эксперимента.

Второе следствие

Ограничения, накладывающиеся на возможные значения момента импульса электрона в атоме (момент импульса L = [rmv] или L = Iω, где r – радиус-вектор частицы, m

– её масса, v – скорость, I – момент инерции, ω – угловая скорость):

Модуль момента импульса электрона квантована и может принимать только дискретный ряд значений

L = h l(l +1) ,

где l – азимутальное (орбитальное) квантовое число, которое может принимать сле-

дующие значения:

l = 0, 1, 2, …, (n – 1).

При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранения момента импульса. Так как фотон уносит момент импульса ~ ћ, возможны только переходы, при которых

∆l = ±1.

Это соотношение называется правилом отбора.

Третье следствие

Ограничения накладываются на возможные проекции момента импульса Lz на физически выделенное направление – ось z. Так как ядро обладает спином, в силу своего

где m – магнитное квантовое число,

m = –l, –(l – 1), …, –2, –1, 0, 1, 2, …, (l – 1), l.

Вывод: состояние электрона в атоме водорода характеризуется собственной волновой функцией ψnlm(r, θ, φ), которая зависит от трёх целочисленных параметров – квантовых чисел n, l, m:

n – главное квантовое число. Определяет возможные значения энергии электрона; n = 1, 2, 3, …, n ≠ 0. (В сложном атоме энергия зависит не только от n.);

l – орбитальное (азимутальное) квантовое число (характеризующее процесс «вращения»). Определяет возможные значения момента импульса электрона и форму вероятностного облака в пространстве; l = 0, 1, 2, …, (n – 1);

m – магнитное квантовое число. Определяет возможные значения проекции момента импульса электрона на физически выделенное направление и ориентацию вероятностного облака относительно этого направления; m = –l, –(l – 1), …, –2, –1, 0, 1, 2, …, (l – 1), l.

Каждому значению n соответствуют n2 состояний с одинаковым значением энергии Wn. Число n2 называют степенью вырождения. Так, для уровня n = 2 имеем n2 = 4 состояния. Об этом уровне говорят, что он четырехкратно вырожден. При внешнем воздействии на атом значение энергии Wn может чуть измениться (для разных значений l и m по-разному) и тогда говорят о снятии вырождения.

Таким образом, состояние электрона в атоме однозначно определяется набором трёх квантовых чисел n, l, m. (На самом деле – четырьмя числами: четвёртое число – спин.)

В атомной физике (в спектроскопии) состояние электрона принято характеризовать

В связи с вышеизложенным можно детализировать схему энергетических уровней атома следующим образом:

При переходе с одного уровня на другой должен выполняться закон сохранения энергии – при «рождении» фотона hω =Wn2 −Wn1 и закон сохранения момента импуль-

са, из которого следует правило отбора ∆l = ±1. Следовательно, серия Лаймана может быть получена при переходе