Материал: МЭИ(ТУ) Физика

струментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибо- ра, неточностью его изготовления. Величина этой погрешности определяется классом точности прибора, но знак ее неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания дан- ного инструмента измерения с прибором более высокого класса точности). Инструмен-

тальную погрешность принято записывать со знаком ±, подчеркивая этим, что без до- полнительных исследований мы не знаем знак отклонения от истинного значения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случай- ным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Данная погреш- ность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т. д. Она проявляется при повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Ее можно уменьшить за счет увели- чения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов из- мерений.

Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчетом, либо временной неис- правностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешно- сти легко исключить сравнением результатов измерений, проведенных в данной серии опытов.

Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематиче-

ских погрешностей и грубых промахов необходимо представить в виде x = xизм ± x , P = K

Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т. е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале ± х. Так если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных замеров результаты 95

измерений будут лежать в пределах указанного интервала достоверности ± х.

2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюдениях

Систематическая погрешность измерения Dх в общем случае складывается из инст-

рументальной погрешности Dxинс, методической погрешности и погрешности считыва- ния.

Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать ее пре- дельным значением.

Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью. Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ± 0,05 мм. Однако, кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при из-

вестном навыке, может быть доведена до четверти деления, т.е. ± 0,25 мм. Тогда пре-

дельное значение погрешности будет порядка ± 0,3 мм. Учитывая, что указатели в ла- бораторных установках отстоят от поверхности линеек на несколько миллиметров, в

качестве предельной погрешности измерения будем брать величину, равную ± 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать 1 ÷ 2 мм). Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна

0,1 мм, то погрешность измерения принимается равной ± 0,1 мм.

Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, для ртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0 ¸ 100 °С при цене де-

ления 1 °С предельная инструментальная погрешность равна ± 2 °С.

Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры, вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибора

K= ( x)инс ×100% ,

хmax

где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.

Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах. В любом случае их пре- дельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицы последнего раз- ряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.

Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления на другое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с ценой наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешность равна ± 0,2 с.

3. Случайные погрешности

Проведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при од- ном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результаты будут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность. В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое численное значение, полученное в ходе такого эксперимента, будет являться случайной величиной. Случай- ные величины изучаются в математической статистике и с помощью этого раздела ма- тематики можно оценить как результат измерения, так и погрешность измерений.

Допустим, что мы провели большую серию из n измерений одной и той же величи- ны. Из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения из этой серии х1, х2, х3, …, xn не одинаковы. Для наглядности представления разобьем весь диапазон измерен-

– ступенчатая кривая), высота каждой ступеньки которой пропорциональна числу та- ких «попаданий» (рис. 1).

Рис. 1

Чем точнее проведены измерения, тем более узкой будет полученная кривая, и на- оборот, при грубых измерениях кривая распределения будет более широкой, расплыв- чатой. Пунктирная кривая, изображенная на рис. 1, представляет собой функцию плот- ности вероятности распределения случайных величин хi. Эта функция позволяет с за-

данной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погреш- ности измерения.

Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всего лежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение из всех измерений.

Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величины нужно взять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будем называть про- сто средним значением)

х = х1 + х2 ... + хn . n

Так как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и оно то- же является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из n изме- рений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x . При расчетах следует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.

Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал,

в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемой величины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть уже проведенных измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно,

этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей (см. пунктирную кривую на рис. 1). В математической статистике эта ширина характе- ризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешно- сти измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формуле

(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)

Так как на практике проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равную

n

å(x − xi )2

Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так и от доверительной вероятности P. Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.

Значения коэффициента Стьюдента можно найти по табл. 1.

Таблица 1.

4. Суммарная погрешность прямого измерения

Если мы определили предельную погрешность измерения хинстр, связанную с ис- пользованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную по- грешность xсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения дается формулой

x = ( xсл )2 + ( хинс )2 .

При расчетах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трех значащих цифр.

Результат прямого измерения следует записать в следующей форме

х = х ± х , Р = 0,95.

Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит от

х − х до х + х .

При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими прави-

лами округления:

1.Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до одной значащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление производят до двух значащих цифр.

2.Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.