3. При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменя- ются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, если х = 1327, то следует записать х = 13×102, если же х = 851, то после округления получим
х= 9×102.)
4.Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то предыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу. В противном случае эта цифра не изменяется.
Например, если после расчетов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47; 0,064; 0,128; 342, то следует записать:
Dx1 = 0,5 ; Dx2 = 0,06 ; Dx3 = 0,13 ; Dx4 = 3×102 .
Если при этом измеряемая величина равна 3,425; 12,8356; 9,025; 8395,7, то резуль- тат необходимо представить в форме:
x1 ± Dx1 = 3,4 ± 0,5 ; Р = 0,95; x2 ± Dx2 = 12,84 ± 0,06 ; Р = 0,95; x3 ± Dx3 = 9,03± 0,13; Р = 0,95;
x4 ± Dx4 = (84 ± 3)×102 ; Р = 0,95.
5. Погрешности при косвенных измерениях
При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений (например, объем куба V = a3). Зная эту функциональ- ную зависимость F = f(x) можно найти ее приращение при малом изменении аргумента:
dF = |
df |
×dx . |
|||||
dx |
x=x |
||||||
Приближенно считая, что dF » F, a dx » |
x, получим |
||||||
DF = |
df |
× Dx , |
|||||
dx |
x=x |
||||||
(например, для куба DV = 3a 2 × Da ).
Если же искомая величина зависит от многих переменных F = f(x, y, z) (например, объем бруска V = a · b · c), то приращение каждого из аргументов дает свой вклад в
приращение функции
цифры. Так, если на установке задан момент инерции маятника I0 = 0,12 кг×м2, то
I0 = 0,005 кг×м2.
Если в расчетах используются не все значащие цифры справочных данных, то в ка- честве погрешности этой величины берется погрешность округления. Очевидно, что значения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной по- грешностью можно было пренебречь.
Так, число Авогадро NA = (6,022092 ± 0,000006)×1023 1/моль. Если взять NA = 6,0×1023 1/моль, то погрешность NA = 0,02×1023 1/моль, ее же относительная вели-
чина DN A = 0,003 , т. е. составит около 3%.
N A
6. Пример статистической обработки результатов измерений
Пусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измери- ли его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна 0,1 мм. Результаты измерений сведем в табл. 2.
Таблица 2 |
||||||||||||
№ |
Di, мм |
DDi, мм |
||||||||||
1 |
12,8 |
-0,22 |
||||||||||
2 |
12,6 |
-0,02 |
||||||||||
3 |
12,4 |
0,18 |
||||||||||
4 |
12,6 |
-0,02 |
||||||||||
5 |
12,5 |
0,08 |
||||||||||
Среднее |
12,58 |
— |
||||||||||
Среднее значение равно |
||||||||||||
5 |
||||||||||||
åDi |
12,8 +12,6 +12,4 +12,6 +12,5 |
|||||||||||
D |
= |
i=1 |
= |
= 12,580 мм . |
||||||||
5 |
5 |
|||||||||||
Зная |
, найдем DDi |
= |
- Di . Соответствующие данные занесены в табл. 2. Слу- |
|||||||||
D |
D |
|||||||||||
чайную погрешность найдем по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 и Р = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получим
n |
||||||||||||
DDсл = tP,n |
å(DDi )2 |
0,22 |
2 |
+ 0,02 |
2 |
+ 0,18 |
2 |
+ 0,02 |
2 |
+ 0,08 |
2 |
|
i=1 |
=2,776 |
= 0,1841мм . |
||||||||||
5(5 -1) |
||||||||||||
n(n -1) |
||||||||||||
С учетом округления Dсл = 0,18 мм.
Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальной по- грешности средства измерения возьмем величину Dинс = 0,1 мм.
В результате суммарная погрешность прямого измерения
DD = |
DDсл2 + DDинс2 = 0,182 + 0,12 = 0,2059 мм |
или с учетом округления |
D = 0,21 мм. |
Окончательный результат прямого измерения представим в виде
D = (12,58 ± 0,21)мм , Р = 0,95.
Длина окружности L = pD. Погрешность косвенного измерения
DL = π 2 DD2 + D2 Dπ 2 ,
относительная погрешность этого измерения
DL |
= |
æ |
DD ö2 |
æ Dπ ö2 |
||||||||||||||||||||||
L |
ç |
÷ |
+ ç |
÷ . |
||||||||||||||||||||||
è |
D ø |
è |
π ø |
|||||||||||||||||||||||
Относительная погрешность при измерении диаметра |
||||||||||||||||||||||||||
D |
= |
0,21 |
= 0,017 . |
|||||||||||||||||||||||
D |
12,58 |
|||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
число p следует подобрать так, |
чтобы |
Dπ |
<< |
DD |
. Этому условию |
||||||||||||||||||||
π |
D |
|||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет значение p = 3,14. При этом |
Dπ |
= 0,00048. Тогда |
||||||||||||||||||||||||
π |
||||||||||||||||||||||||||
= π |
= 3,14 ×12,58 = 39,5012 мм . |
|||||||||||||||||||||||||
L |
D |
|||||||||||||||||||||||||
Так как |
DL |
» |
DD |
= 0,017 , то DL = |
×0,017 = 0,672 |
или |
с |
учетом округления |
||||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||||||||||
L = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в виде
L = (39,5 ± 0,7)мм , Р = 0,95.
7. Указания к составлению графиков
Результаты измерения физических величин часто удобно представить в виде гра- фиков, наглядно показывающих связь между физическими величинами.
Для построения графиков удобно пользоваться миллиметровой бумагой, придер- живаясь следующей последовательности:
1.Выбрать масштабы для откладываемых на графике величин.
2.Построить шкалу на осях, если график выполняется в декартовой системе коор-
динат.
3.Нанести экспериментальные точки и построить по ним график.
При выборе масштабов надо исходить из следующего:
а) на графике должны уместиться значения всех измеренных величин; б) начало координат не обязательно должно совпадать с нулевым значением откла-
дываемой величины. В качестве начала координат можно взять целое число, ближай- шее к наименьшему значению измеренных величин;
в) график должен быть удобен для использования, поэтому одно деление масштаб- ной линейки должно соответствовать 1, 2, 5, 10 или 25, 50 единицам откладываемой величины или такому же количеству долей единицы. Промежуточные значения, полу- чаемые на опыте, на осевых шкалах не наносятся. У концов осей необходимо указать выбранную единицу измерения.
Наносимые на графике по экспериментальным данным точки надо изображать в виде кружочков радиусом менее 1 мм. По нанесенным экспериментальным точкам про- водят плавную кривую, притом не по точкам, а между ними, так, чтобы разброс точек по обе стороны кривой был примерно одинаков. Недопустимо проводить через экспе- риментальные точки ломаную прямую, состоящую из отрезков прямых, соединяющих соседние точки.
ПОРЯДОК РАБОТЫ В ФИЗИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ
1.Каждой студенческой группой при проведении лабораторных занятий руководят два преподавателя.
2.Студенты группы разбиваются на бригады по 2-3 человека. Каждая бригада име- ет свой график прохождения физического практикума.
3.Перед приходом на очередное занятие каждый студент должен к нему подгото- виться теоретически и подготовить заранее форму отчета (форма отчета приводится ниже).