Материал: МЭИ(ТУ) Физика

- Dj = -(j - jВ ) = ЕDl = Е × cos(E Dl)Dl = ElDl ,

где Dj – изменение потенциала при смещении из точки В на Dl, а Еl –

проекция вектора Е на направление смещения Dl. Из последнего

равенства имеем

Соотношение (1) позволяет находить проекцию напряженности поля на любые направления в произвольной точке В, если известны значения потенциалов в окрестности этой точки. В общем случае при бесконечно малых перемещениях формула (1) выражает дифференциальную связь

между Еl и j в каждой точке поля Еl = - ddϕl . Знак минус указывает на то,

что в направлении вектора Е потенциал убывает.

Графически электростатическое поле изображается силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями (рис. 1а). Направление

силовых линий совпадает в каждой точке поля с направлением вектора Е .

1. Описание установки и метода измерений

Эквипотенциальная поверхность является геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом. Если заряд перемещается в направлении

Dl, перпендикулярном к силовой линии, т.е. к вектору Е , то Еl = 0 и

j = const.

Следовательно, во всех точках кривой, расположенной нормально к силовым линиям, потенциал одинаков, т.е. эквипотенциальные поверхности везде нормальны к силовым линиям. Теорема Гаусса

позволяет наглядно представить электрическое поле густотой силовых линий.

Проведем в пространстве произвольный малый замкнутый контур L и через каждую его точку проведем электрическую силовую линию (рис. 1,б). Эти силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую силовой трубкой. Рассмотрев замкнутую поверхность силовой трубки, по теореме Гаусса, получим условие ES = const вдоль силовой трубки. Это условие аналогично для жидкости, текущей по трубке переменного сечения S, а именно υ × S = const , где υ – скорость течения жидкости. Очевидно, что в местах с большей напряженностью поля, силовые линии гуще, а число силовых линий через площадку S пропорционально напряженности поля. Поскольку поверхность проводника

эквипотенциальна, то вектор Е направлен к ней по нормали. Величина

напряженности Е вблизи поверхности заряженного проводника (электрода) связана с поверхностной плотностью зарядов σ на этом проводнике соотношением σ = ε0Еn , En – проекция вектора Е на

направление внешней нормали к поверхности электрода. С учетом формулы (1) получим

где Δϕ – изменение потенциала при смещении на малое расстояние ln по нормали к проводнику.

Наиболее удобно описывать электрическое поле с помощью плоского графического изображения. Проводятся только те силовые линии, которые лежат в плоскости чертежа. Эквипотенциальные

поверхности изображаются линиями их пересечения с плоскостью чертежа. Эти линии называются эквипотенциалями. На рис. 1,а пред- ставлена система силовых линий (сплошные линии) и эквипотенциалей (штриховые линии) для поля, созданного равномерно заряженными плоскостью и сферой. Так как система эквипотенциалей определяет значение потенциала во всех точках поля, то по формуле (1) можно рассчитать Еl в произвольной точке поля, а по формуле (2) – величину σ в

произвольной точке электрода.

Аналитический расчет электростатических полей при сложной конфигурации электродов представляет большие трудности и для ряда случаев невыполним. В то же время при конструировании электронных,

ионных и многих других приборов очень важно знать характер

распределения поля между электродами сложной формы. Поэтому эту задачу решают либо на ЭВМ, либо экспериментально.

В основе данной работы лежит метод моделирования электростатического поля. Сущность этого метода заключается в замене

электростатического поля неподвижных зарядов полем стационарного тока

вслабопроводящей среде. С этой целью в электролит с малой удельной

проводимостью погружают электроды и прикладывают к ним разность потенциалов. Форма и взаимное расположение электродов должны быть такими же, как форма и расположение заряженных тел, создающих изучаемое электростатическое поле. Теоретический анализ показывает, что

вэтом случае существует аналогия между распределением потенциалов в

поле тока в однородной слабопроводящей среде и в электростатическом поле.

Закон Ома в дифференциальной форме j = λE связывает плотность тока j и напряженность поля E в одной и той же точке. Можно показать, что если проводящая среда однородна (проводимость λ не зависит от координат), то в наиболее интересных случаях, поле E в проводящей среде совпадает с полем Eст , которое существовало бы между данными

электродами, если бы между ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум. Отсюда следует,

что в однородной проводящей среде силовые линии электростатического поля совпадают с линиями тока j .

Покажем это расчетом. Из уравнения непрерывности divrj = − ∂∂ρt , где

ρ(x, y, z) – объемная плотность зарядов в среде, и закона Ома в

дифференциальной форме, при условии ρ = 0 следует, что поле E в проводящей среде удовлетворяет тому же уравнению, что и

электростатическое поле Eст в вакууме divEст = 0, при отсутствии

объемных зарядов (ρ = 0).

Необходимы также одинаковые условия на границе электродов для совпадения полей E и Eст . Расчет дает, что если удельная проводимость

электролита много меньше, чем проводимость электродов, то электроды (проводники) будут иметь во всех точках практически один и тот же потенциал, и силовые линии электрического поля внутри проводящей среды будут нормальны к поверхности электродов, как и в электростатическом поле. Это следует из равенства нормальных к поверхности раздела сред составляющих векторов плотности тока, т.е. j1n = j2n . Последнее

равенство означает преломление линий электрического тока на поверхности раздела проводников, причем tgα1 / tgα2 = λ1 / λ2 , где α1, α2 –

углы между линией тока в средах 1, 2 и нормалью к поверхности раздела; l1, l2 – проводимости сред 1, 2. Рассуждения о тождественности электростатического поля в непроводящей среде (вакуум, диэлектрик) и поля постоянного тока в слабопроводящей среде становятся особенно понятны,

если рассматривать диэлектрик как предельный случай среды с малой удельной проводимостью. Для большей простоты эксперимента проводят исследование так называемого плоского поля, не зависящего от одной из трех координат, например z. В таком поле потенциал постоянен вдоль любой вертикальной линии. В этом случае для изучения распределения потенциала используют вертикальные тонкие металлические стержни – зонды, вводимые внутрь поля. Такие зонды не искажают плоское поле.

Установка для изучения модели электрического поля представлена на рис. 2. Установка состоит из ванны 1 с электролитом (водопроводной

водой), электродов Э1 и Э2, зонда 3, индикаторного прибора ИП,

переменных сопротивлений R1 и R2, пантографа 2 и источника переменного напряжения U. Применение переменного напряжения* удобно для проведения измерений, а также позволяет избежать поляризации электродов, приводящей к искажению поля. При постоянном токе

происходил бы процесс электролиза и на электродах выделялись бы составные части электролита. В результате напряжение между

электродами в течение измерений менялось бы и измерения были бы менее точными. (* Переход на переменный ток низкой частоты (v = 50 Гц) не изменяет расположение эквипотенциалей, так как длина волны l, соответствующая переменной разности потенциалов λ = с / ν =

= 3×108 / 50 = 6 ×106 м намного больше расстояния между электродами (0,2

– 0,3 м). Поэтому можно считать, что потенциал во всех точках поля изменяется одновременно.)

2

В

Э1, Э2

1

Рис. 2

электролита между электродами Э1 и Э2. Участок СD представляет собой потенциометр, который с помощью расположенной на нем шкалы разделен на 10 частей. В диагональ моста АВ между зондом и движком потенциометра А включен индикаторный прибор ИП (см. рис. 2), в качестве которого используется осциллограф. Если, не изменяя потенциала точки А, перемещать зонд, то можно найти такую точку В в поле,

потенциал которой равен потенциалу точки A (ϕВ = ϕА). Равенство этих потенциалов устанавливают с помощью осциллографа. Разберем этот вопрос подробнее. От блока питания БП переменное напряжение подается на точки С и D потенциометра, на электроды Э1 и Э2 и на горизонтально отклоняющие пластины трубки осциллографа (вход X). На вход Y переменное напряжение подается с точек А и В (рис. 3). Предположим, зонд находится в такой точке В исследуемого поля, для которой ϕВ = ϕА. В этом случае на вход Y осциллографа напряжение не поступает, вертикальное отклонение луча отсутствует. На горизонтально отклоняющие пластины (на вход X) постоянно подается переменное напряжение,

заставляющее электронный луч перемещаться по экрану осциллографа то вправо, то влево, прочерчивая на нем горизонтальную прямую. Если

передвинуть зонд в другую точку поля, для которой ϕВ ¹ ϕА, то картина на экране изменится. Пусть при этом положении зонда для положительного полупериода питающего напряжения выполняется условие ϕA > ϕB

(положительным условно назовем полупериод, для которого ϕD > ϕC ). Под

действием горизонтально отклоняющих пластин луч начинает движение вправо. Но теперь на вход Y через усилитель подается сигнал,