Материал: МЭИ(ТУ) Физика

6.18.B1 = μ0 I (b2 + 4r02 )−12 = 2,5 ×10−3 Тл ; B2 = μ20 I (b2 + r02 )−12 =1,3 ×10−3 Тл .

2.Bmax = μ0 IN [2π (r0 - d2)]= 5,0 ×10−3 Тл ; Bmin = μ0 IN [2π (r0 + d2)]= 3,3 ×10−3 Тл .

3.r0 d =1δ = 50 .

2. См. рис. 6.15.

6.21.1. B1 = μ0 Ir1 (2πr02 )= 2,0 ×10−5 Тл ; B2 = μ0 I (2πr2 ) =1,6 ×10−5 Тл ; B3 = 0.

2.См. рис. 6.16.

6.22.B = μ20 [j,d], d – вектор, направленный от оси проводника к оси полости.

7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ И ДВИЖУЩИЕСЯ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

На элемент тока в магнитном поле действует сила, определяемая законом Ампера. Сила, действующая на проводник с током конечной длины, помещенный в магнитное поле, находится путем суммирования сил, действующих на элементы тока этого про- водника (см. пример 7.1).

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. На контур с током в магнитном поле действует механический момент сил, вра-

щающий контур.

Примеры решения задач

Пример 7.1. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому течет ток I1, перпендикулярно к нему расположен тонкий* стержень длиной a, по которому течет ток I2. Расстояние от прямого тока до ближайшего стержня равно b (рис. 7.1). Найти силу, действующую на стержень, при I1 = I2 = 10 А, a = 10 см, b = 10 см.

Рис. 7.1.

Рассмотрим некоторый элемент тока I2dr, находящийся на произвольном расстоя- нии r от провода с током I1 (рис. 7.1). По закону Ампера на него действует сила, равная dF = I2[dr, B], где B – магнитная индукция в месте расположения этого элемента. По модулю dF = I2drB, так как sin(dr, B) = 1.

Магнитная индукция B провода с током вдоль стержня непрерывно меняется, так как по закону полного тока B = μ2π0 Ir1 . В области расположения стержня магнитная ин-

дукция B, создаваемая проводом с током, направлена перпендикулярно плоскости ри- сунка от нас (рис. 7.1).

Силы, действующие на все элементы стержня, имеют одинаковое направление, по- казанное на рис. 7.1, и различную величину, зависящую от расстояния r,

dF = μ0 I1I2 dr , поэтому результирующая сила F, действующая на весь стержень, равна

2πr

Пример 7.2. Узкий пучок частиц с зарядом Q, скорость которых v, пролетает через однородное магнитное поле с индукцией B (v ^ B), сосредоточенное в узкой области протяженностью S в направлении движения частиц, за которой на расстоянии l распо- ложен флуоресцирующий экран Э (рис. 7.2). В какую точку экрана попадут частицы?

Рис. 7.2

На заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца FЛ = Q [v, B], в данном случае FЛ = QvB, так как sin(v, B) = 1. Сила Лоренца всегда на- правлена перпендикулярно к скорости и, не меняя ее величины, меняет ее направление, сообщая частицам нормальное ускорение an = v2/r, так что частицы в однородном маг- нитном поле (B = const, FЛ = const) будут двигаться по дуге OO1 окружности радиуса r (рис. 7.2) с центром в точке C. По II закону Ньютона уравнение движения частицы мас- сой m имеет вид (силой тяжести по сравнению с силой Лоренца можно пренебречь) ma = FЛ. В проекциях на нормаль к скорости (т. е. на направление r) имеем man = FЛ

или mv2/r = QvB. Отсюда r = mv/(QB).

После вылета из области магнитного поля частицы движутся со скоростью v пря- молинейно по касательной к окружности в точке вылета O1 и попадают на экран на расстоянии z от первоначального направления пучка (ось x). Из геометрии рисунка, учитывая, что h << r и стороны углов XOO1и OCO1 можно считать взаимно перпенди-

кулярными, имеем z/(S/2 + l) ≈ S/r, откуда z = S(S/2 + l)/r = QBS(S/2 + l)/(mv).

Задачи

7.1. Найти силу F, действующую на прямой провод длины l = 10 см, обтекаемой током l = 0,5 А, помещенный в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), если провод образует с линиями индукции угол α = 30°. Построить в полярных координатах график зависимости величины силы F от угла α.

7.2.С какой силой взаимодействуют десятиметровые участки длинных* прямых проводов, расположенных параллельно друг другу на расстоянии x = 0,40 м и обтекае- мых токами I1 = I2 = 60 А?

7.3.Длинный* прямой провод расположен строго горизонтально. По нему идет ток I = 20 А. Параллельно этому проводу, под ним, на расстоянии α = 4,0 см расположен второй прямой провод, медный. При какой плотности тока нижний провод будет нахо- диться в состоянии равновесия? В пределах медного провода магнитную индукцию считать постоянной.

7.4.В одной плоскости с длинным* прямым проводом с током I1 = 10 А, перпенди- кулярно к нему расположен тонкий стержень длиной l = 20 см, по которому течет ток I2 = 2,0 А. Расстояние от прямого тока до ближайшего конца стержня r0 = 10 см.

1. Найти силу F1, действующую на стержень, и точку приложения этой силы.

2. Можно ли найти силу F2, действующую со стороны магнитного поля стержня на прямой проводник с током I1? Будет ли она равна силе F1?

7.5.В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I1 = 10 А, расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I2 = 2 А (рис. 7.3). Дли- на рамки a = 6 см, ширина b = 4 см, а расстояние до провода x0 = 1 см. Найти силу, дей- ствующую на каждую сторону.

7.6. Два длинных* прямых провода, по которым идут равные по величине токи I1 = I2 = 20 А взаимно противоположного направления, расположены параллельно друг другу на расстоянии x0 = 20 см. Между проводами, в одной плоскости с ними (рис. 7.4)

находится прямоугольная рамка со сторонами a = 6 см, b = 4 см, обтекаемая током I3 = 2 А. Найти результирующую силу, действующую на каждую сторону рамки, если расстояние x1 = 12 см.

7.7.Кольцо радиуса r = 5,0 см из однородной свинцовой проволоки поперечного сечения S = 3,0 мм2 расположено в плоскости, нормальной к линиям индукции одно-

родного магнитного поля. При пропускании через кольцо тока I1 = 20 А оно нагревает- ся, и прочность проволоки на разрыв уменьшается до величины σ = 2,0 · 106 Н/м2. При каком значении индукции магнитного поля кольцо разорвется? Прочность σ определя- ется отношением силы, действующей перпендикулярно площади поперечного сечения проволоки, к величине этой площади.

7.8.Обмотка плоской квадратной рамки со стороной a = 10 см состоит из N = 100 витков, обтекаемых током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), линии индукции которого образуют угол β =60° с плоскостью рамки.

1. Найти вращающий момент M, действующий на рамку.

2. Построить в полярных координатах график зависимости величины вращающего момента M от угла α между векторами магнитного момента pm рамки и магнитной ин- дукции B.

7.9.Рамка с током, магнитный момент которой pm = 2,0 · 10-3 А · м2, помещена в се- редину соленоида. Радиус соленоида r0 = 8 см, длина соленоида l = 50 см, число витков N = 300. Какой ток идет в обмотке соленоида, если наибольший вращающий момент, действующий на рамку, M = 2,0 · 10-6 Н · м? Считать, что r0 >> r, где r – радиус рамки.

7.10.Обмотка соленоида состоит из N = 500 витков радиусом r =2 см каждый, об- текаемых током I = 4,0 А. Ось соленоида расположена горизонтально в плоскости маг- нитного меридиана. Найти вращающий момент, действующий на соленоид, если маг- нитная индукция Земли B0 = 5,8 · 10-5 Тл, угол наклонения ф = 72°. Плоскость магнит- ного меридиана – вертикальная плоскость, в которой лежит вектор B0, угол наклонения см. задачу 6.4.

7.11.В середине длинного соленоида, плотность обмотки которого n = 2000 вит- ков/м, обтекаемого током I = 4,0 А, помещена маленькая магнитная стрелка, свободно вращающаяся на вертикальной оси. Максимальный вращающий момент, действующий на стрелку, M = l,2 · 10-4 H · м.

1.Найти магнитный момент стрелки.

2.При каком положении относительно оси соленоида стрелка будет находиться в положении устойчивого равновесия? Неустойчивого?