Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

Видно, что плотность энергии пропорциональна плотности среды , квадрату частоты и квадрату амплитуды волны.

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной.

Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность за время dt переносится энергия dW, то по определению поток энергии будет равен

Ф = (64)

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности.

Для характеристики переноса энергии в различные точки пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Модуль потока энергии равны

(65)

Ч

Рис. 15

ерез площадку S_ (рис.15) будет перенесена за время t энергия W, заключенная в объеме цилиндра с основанием S_ и высотой t ( – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то W можно найти, как произведение плотности энергии w на объем цилиндра S_  t: W = wS_Vt. Подставив это выражение в формулу (70), получим для плотности потока энергии:

j = w (66)

Наконец, введя вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с распространением волны (переноса энергии), можно написать

(67)

Этот вектор называется вектором Умова. Среднее значение плотности потока энергии равно

< > = <w> = (1/2)a²² . (68)

Выразим модуль средней плотности потока энергии в другом виде, используя выражение υ = :

<

194

j > = , (69)

где Е - модуль Юнга,  - плотность среды.

Отметим, что когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимое волной.

5. Отражение и прохождение упругих волн на границе раздела двух сред

Пусть на границу раздела двух сред (рис. 16) из среды 1 падает нормально к границе волна.

Пусть величины ξ₁, ξ₂ и ξ₃ выражают смещения части, обусловленные действием падающей, отражённой и проходящей волнами соответственно.

На границе выполняются следующие условия:

1. полная энергия, приходящая к единичной площадке

границы за единицу времени (то есть вектор Умова), равна плотности потока энергии уходящих от границы волн:

_пад= _отр+ _прох (70)

Учитывая направление скоростей, получим:

j_пад=-j_отр+j_прох (71)

2) на границе выполняется условие неразрывности среды, то есть

_пад+_отр=_прох, (72)

где смещения  входят со своими знаками.

Подставляя в (70) и (71) выражения для падающей, отраженной и проходящей волн, приведенные на рис.16, получим следующие выражения для амплитуды проходящей А_прох и отраженной А_отр волн

А_прох= , (73)

_, (74)

где A_пад - амплитуда падающей волны; z – отношение волновых сопротивлений или импедансов второй и первой сред, т.е.

(75)

Принято считать, что если z  1, то вторая среда для рассматриваемой волны более «плотная», чем первая. Если z  1, то как видно из выражения (74), соответствующая амплитуда отраженной волны меняет знак, то есть фаза изменяется на . В таком случае принято говорить, что происходит потеря половины волны. В проходящей волне, как видно из выражения (73), фаза не изменяется.

Покажем, что при отражении от среды 2, значительно более плотной, чем среда 1, то есть при z » 1 результирующая амплитуда А_пад + А_отр на границе в среде 1 равна нулю. Это означает, что на границе образуется узел, то есть точка, в которой смещение в любой момент времени равно нулю.

Действительно, как следует из выражений (73) и (74), в этом случае

А_отр = -А_пад , А_прох = 0 (76)

Следовательно, в среде 1 результирующая амплитуда на границе равна

А₁ = А_пад + А_отр = 0 (77)

Иллюстрацией этого может служить веревка, привязанная к стене. Если попробовать раскачать веревку так, чтобы на границе суммарное смещение было бы равно нулю, то убедимся, что этого осуществить не удастся.

Рассмотрим ситуацию, когда z = 1. В этом случае

А_прох = А_пад , А_отр = 0 (78)

Следовательно, отраженной волны не будет, волна проходит без преломления. Такие среды, для которых z = 1, называются согласованными.

Если z <<1 или z = 0,то

А_отр = А_пад А_прох = 2А_пад (79)

Из этого следует, что в среде 1 результирующая амплитуда на границе равна

А₁ = А_пад + А_отр = 2А_пад (80)

Кроме этого, как видно из выражения (80), результирующая амплитуда на границе максимальна. Точка, в которой амплитуда максимальна, называется пучностью.

5. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой точке среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными (согласованными).

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях

₍₈₁₎

Сложив эти уравнения и преобразовав результат по формуле

cos α + cos  = 2

получим уравнение

, (82)

называемое уравнением стоячей волны. Из (82) видно, что в каждой точке стоячей волны происходит колебание той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

А_ст = 2a cos( ).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

=  n, (n = 0,1,2,…), (83)

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называют пучностями стоячей волны.

Из (83) следуют координаты пучностей:

x _пучн=  (n = 0,1,2,…) (84)

При этом отметим, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют одну и ту же координату, определяемую формулой (84).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

=  (n+1/2) (n = 0,1,2,…),

амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения:

x_узл =  (n+1/2) /2 , (n = 0,1,2,…) (85)