Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

(50)

Здесь - расстояние от точечного источника до заданной точки (x,y,z); - амплитуда колебаний частиц на расстоянии r = 1м, - волновое число.

2.2. Скорость волны в твердых телах

При распространении упругих волн происходит деформация среды. При продольных волнах - деформация растяжения и сжатия, при поперечных – сдвига. Если деформировать (сжать, растянуть или сдвинуть относительно друг друга) крайние точки тела, то эта деформация будет распространяться в теле с некоторой скоростью . Для вычисления величины рассмотрим простейший случай передачи деформации через упругий стержень.

Пусть в течение короткого промежутка времени t ударом молотка мы сообщим этому стержню некоторый импульс. За это время точки торца стержня сместятся на некоторое расстояние l. Возникшая деформация будет перемещаться от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времени t все частицы участка стержня длины l, вовлеченного в колебательный процесс, будут двигаться со скоростью υ = l/t вправо. Поскольку в начале этого промежутка частицы были неподвижны, то приращение количества движения стержня будет равно mu – 0, где m – масса участка l. Обозначив площадь поперечного сечения стержня через S, а плотность материала стержня через , мы получим dm = Sl. По второму закону Ньютона приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действовавшей при ударе на стержень, т.е.

Ft =  Sl. С другой стороны, по закону Гука имеем F = ESΔl/l, где Е – модуль Юнга. Исключив из этих уравнений силу F, сначала получим , а затем . Отсюда скорость распространения волны сжатия (продольной волны) в упругом стержне равна

. (51)

Подобные расчеты скорости поперечных волн дают

. (52)

где G – модуль сдвига среды.

Выражение называется волновым сопротивлением или импедансом среды.

2.3. Скорость звука в жидкостях и газах

Без доказательства согласимся с тем, что скорость упругих волн в жидкостях и газах равна

с = , (53)

где К – модуль объемной упругости, - плотность невозмущенной среды. Модуль объемной упругости для определенной жидкости или реального газа находится экспериментально. Для идеального газа K =  p, где p – давление невозмущенного газа,  – показатель адиабаты. Этот результат легко получить, если процесс объемной деформации жидкости или газа при распространении в них звуковых волн считать адиабатным. Уравнение адиабаты для идеального газа имеет вид

, (54)

где V – объём газа; – показатель адиабаты, равный отношению теплоёмкостей газа С_р/С_v: С_р – теплоёмкость газа при постоянном давлении, С_v – при постоянном объёме. Возьмём дифференциалы от обеих частей равенства (54)

Отсюда получим или в конечных разностях

(55)

Здесь (- ) представляет собой силу объёмной упругости газа, действующей на единицу площади поверхности сосуда и по сути аналогична нормальному напряжению ; величина приобретает смысл относительной всесторонней деформации.

На основании этих замечаний равенство (55) принимает форму закона Гука

где K =  p

Если учесть, что плотность идеального газа равна

где М – молярная масса, R – газовая постоянная и T – абсолютная температура, то для скорости звука в идеальном газе получим

(56)

При нормальных условиях (p = 105 Па, Т = 300 К) атмосферный воздух по своим свойствам подобен идеальному газу. Отсюда получим оценку скорости звука в воздухе, для которого

; .

Для воды ,  = 10³ кг/м³ скорость звука

^.

2.4. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде вдоль оси Х распространяется плоская продольная волна

 = a cos(t-kx). (57)

Выделим в среде элементарный объем V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно считать одинаковыми и равными, соответственно, /t и /x.

Выделенный объем обладает кинетической энергией:

(58)

(V-масса объема, /t- скорость движения точек среды).

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации:

( = /x-относительная деформация, Е - модуль Юнга среды). Заменим в (59), полагаясь на формулу υ = , модуль Юнга на  ² ( - плотность среды, – фазовая скорость волны). Тогда потенциальную энергию колеблющихся частиц среды в объеме V можно представить в виде

(60)

Выражения (58) и (60) в сумме дают полную энергию выделяемого объёма

Разделив эту энергию на объем V, в котором она содержится, получим плотность энергии

(61)

Дифференцирование уравнения (54) один раз по t, другой раз по х дает:

/t = -a sin(t-kx), /x = ka sin(t-kx)

Подставив эти выражения в формулу (61) и приняв во внимание, что k² = ², получим:

w= a²²sin²(t-kx) . (62)

Из (62) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. Средняя плотность энергии в каждой точке среды

<w > = (1/2)a²² (63)

Здесь учтено, что среднее значение квадрата синуса за период равно 1/2, т.е. <Sin² (ωt-кх)>=1/2.