Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

А_рез = , где F₀ = 0.1 Н.

Подставляя числовые значения и вычисляя, получаем  = 0.5 1/c, ω_рез = 9.97 1/с, А_рез = 2 см.

1.9. Задачи

1. Как, зная амплитуду скорости и амплитуду ускорения , найти амплитуду и частоту гармонического колебания? .

2. Осциллятор со временем релаксации с в момент имеет начальное смещение см. При каком значении начальной скорости ₀ это смещение окажется равным своей амплитуде? .

3. В результате сложения двух колебаний, период одного из которых Т₁ = 0.02 с, получают биения с периодом Т_б = 0.2 с. Определите период второго складываемого колебания. [22.2 мс].

4. На горизонтальной пружине укреплено тело массой М = 10 кг, лежащее на гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 500 м/с, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с застрявшей в нем пулей отклоняется от положения равновесия и начинает колебаться относительно него с амплитудой А = 10 см. Найти период колебаний тела.

5. Груз массой m осторожно прикрепляют к концу свободно висящей пружины. Когда груз освобождают, он опускается на 30 см, а затем начинает колебаться. Чему равна частота колебаний?

6. Однородный диск радиуса см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания [ =2 c].

7. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальна. [10.1 cм]

8 . Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рисунке. Известны радиусы блока , его момент инерции относительно оси вращения, масса тела и жесткость пружины . Масса нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет. .

9. Период затухающих колебаний 4 с, логарифмический декремент затухания 1.6, начальная фаза равна нулю. Смещений точки при t = T/4 равно 4.5 см. Написать уравнение движения.

10. Логарифмический декремент затухания  маятника равен 0.01. Определить число полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза. [110]

11. Тело, массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за  = 1 мин потеряло 40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

[8.51 ^. 10^-4 кг/с]

12. Частота свободных колебаний некоторой системы ω_о = 100 1/с, резонансная частота ω_рез = 99.0 1/с. Определить добротность этой системы. .

13. Гиря массой m = 20 г, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0.2 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0.2cosωt, Н. Определить: 1) частоту ₀ собственных колебаний; 2) резонансную частоту _рез; 3) резонансную амплитуду А_рез; 4) статическое отклонение. [1) 7.96 Гц; 2) 7.88 Гц; 3) 2 см; 4) 4 мм]

14. Под действием вынуждающей силы система совершает установившиеся колебания, описываемые функцией . Найти работу A_вын вынуждающей силы за период. [ A_вын = aF_m sin]

2. Упругие волны

2.1. Основные понятия. Уравнение волны

Волной называется процесс распространения колебаний в непрерывной среде. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны.

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

График зависимости смещения частиц среды  от расстояния х до источника колебаний для фиксированного момента времени представлен на рис. 13

М инимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза волны за период колебаний частиц, т.е.

 = T = / , (41)

где Т - период,  = 1/Т - частота волны, – скорость распространения волны

Уравнением упругой волны называется выражение, которое дает смещение  колеблющейся частицы среды, заданной координатами равновесного положения х, у, z в произвольный момент времени:

 = (x,y,z,t).

Получим вид уравнения плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х. Волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Х.

В се точки выбранной волновой поверхности колеблются одинаково. Смещение  всех точек этой плоской поверхности будет зависеть от ее координаты х и времени t: =(х,t). Пусть точки плоскости x = 0 (рис. 14) совершают колебания по закону

(0,t) = a cos(t+).

Найдем закон колебаний точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время  = x/ . Следовательно, колебания частиц лежащих в плоскости х, будут отставать на время  от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е. будут совершаться по закону

(x,t) = a cos[(t-)+] = a cos[(t-x/ )+].

Итак, уравнение плоской волны (как продольной, так и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, получает вид:

 = a cos[(t-x/ )+]. (42)

Зафиксируем какое-либо значение фазы волны

(t-x/ )+=const. (43)

Продифференцировав равенство (48) по времени, получим условие

или = υ (44)

По смыслу величина есть скорость распространения постоянного значения фазы, обозначается через и носит название фазовой скорости волны.

Из равенства (44) следует, что скорость распространения волны в упругой среде есть скорость распространения фазы

₌ . (45)

Согласно (44), dx/dt0. Следовательно, уравнение (42) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания .

Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, определяется уравнением:

 = a cos[(t+x/ )+]. (46)

Уравнению (46) можно придать симметричный вид относительно переменных х и t. Для этого введем величину

(47)

и назовем ее волновым числом. Умножая числитель и знаменатель выражения (47) на частоту , представляем волновое число в виде:

k =  / (48)

Раскрывая в (42) круглые скобки и принимая во внимание (48), придём к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x

 = a cos(t-kx+). (49)

Уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположную сторону, отличается от (49) только знаком при члене kx.

Уравнение плоской волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В декартовых координатах волновое уравнение плоской волны имеет вид:

Здесь  смещение частицы среды с координатами x,y,z в момент времени t.

Отметим, представленные уравнения распростра-няющейся плоской волны справедливы для сред без поглощения.

Если размеры изотропного источника упругой волны малы, то на большом расстоянии от него волновые поверхности будут образовывать семейство сфер с общим центром в точке положения источника (семейство концентрических сфер).

Уравнение сферической волны при отсутствии поглощения средой имеет вид