Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра физики

Механические колебания. Упругие волны методические указания

по физике

для студентов всех технических направлений

и специальностей очной формы обучения

Воронеж 2014

Составители: канд. физ.-мат. наук Н.В. Агапитова, канд. физ.-мат. наук В.А. Евсюков, д-р физ.-мат. наук А.В. Бугаков

УДК 537

Механические колебания. Упругие волны: методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Евсюков, Н.В. Агапитова, А.В. Бугаков. Воронеж, 2014. 44 с.

Методические указания содержат необходимый теоретический материал по одному из важных вопросов курса общей физики «Механические колебания и волны в упругой среде». Приведены примеры описания некоторых колебательных систем и расчета их основных характеристик. Предложен небольшой тематический сборник задач для самостоятельной работы. Предназначены для студентов первого и второго курсов.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле «Мех_колебания 2014.doc».

Ил. 22. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Е.В. Шведов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, проф. Т.Л. Тураева

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

©ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет, 2014

Предисловие

Как показывает опыт преподавания, студенты более охотно пользуются методическими разработками по различным темам курса, нежели «большой» учебной литературой. Более сжатое, лаконичное изложение отдельных вопросов предмета оказывается для студента предпочтительнее. Однако, компактное изложение материала не должно быть чрезмерно упрощённым и содержать пробросы важных элементов теории. Всё это налагает высокие требования к разработке методических указаний.

В предлагаемых методических указаниях вопросы механических колебаний и упругих волн изложены предельно кратко, но наряду с этим, сохраняют должный уровень содержания, отвечающий стандартной вузовской программе по общему курсу физики.

В методических указаниях представлены примеры решения ряда задач, иллюстрирующие кинематику и динамику колебательных движений. В конце каждой из глав приведены задачи для самостоятельной работы студентов по избранной теме курса.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

1. Механические колебания

1.1. Гармонические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости во времени. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса в физике выделяются колебания механические, электромагнитные, а в сложных колебательных системах могут быть те и другие.

Рассмотрим основные вопросы теории механических колебаний. Простейшими по характеру колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Физическая система, совершающая периодические колебания называется осциллятором (от латинского «oscillo» - качаюсь).

Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счет первоначально сообщенной энергии при отсутствии последующих внешних воздействий, называются гармоническими осцилляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, математический и физический маятники совершающие малые колебания. Колебания, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колебаниями.

Рассмотрим кинематику гармонического колебания. Смещение системы от положения равновесия определяется формулой

x = A cos (₀ t + _о) . (1)

где x - смещение материальной точки в произвольный момент времени от своего положения равновесия, A - амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение от положения равновесия;  = ₀ t +_о - фаза колебаний; _о - начальная фаза.

Периодом колебаний называется промежуток времени Т, за который фаза колебаний получает приращение, равное 2. Определим его из следующего условия: ₀t + T +  =

= ₀t +  + 2, откуда T = 2 / .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и обозначается буквой . Частота и период колебаний – взаимно обратные величины, т.е.  = 1/T . За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 сек. Эту единицу называют герцем (Гц). Таким образом, эти величины связаны соотношениями

 = 2 /T = 2  . (2)

Величину  называют круговой или циклической, т.е.  дает число колебаний за 2 секунд.

Зная смещение (1), определяем скорость

v = = - A ₀ sin(₀ t + ) , (3)

и ускорение

a = = = - A cos (₀ t + ) = - ₀²x. (4)

Из (3) получаем

+ ₀²x = 0 или + ₀²x = 0 (5)

Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид (1).

На рис.1 представлены зависимости смещения, скорости и ускорения для гармонических колебаний.

Рассмотрим гармонические колебания на примере пружинного маятника. Выведем маятник из положения равновесия и предоставим систему самой себе. По II закону Ньютона имеем:

(6)

1.2. Энергия гармонического колебания

Используя выражение скорости (3), определим кинетическую энергию гармонического осциллятора

(7)

Потенциальная энергия выражается формулой:

(8)

Складывая (7) и (8), получим полную энергию колебания:

E = E _k + E_p = . (9)

Таким образом, полная энергия гармонического колебания является величиной постоянной. Этого и следовало ожидать, так как квазиупругая сила является консервативной.

1.3. Маятники

Маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее известными являются математический и физический маятники.

М атематическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.2.).

При отклонении маятника от положения равновесия на угол  возникает вращательный момент М = - mgl sin (m – масса маятника, l – длина маятника).

Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту М и угловому смещению  нужно приписывать противоположные знаки. По основному закону динамики вращательного движения имеем уравнение

ml² =- mgl sin , (10)

где ml² – момент инерции маятника, - угловое ускорение. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sin  . Введя обозначение g/l =₀², получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний +₀² = 0, общее решение которого имеет вид

 = A cos(₀t+_о), (11)

где А и _о - постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний.

Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника

(12)

где m-масса материальной точки, k- коэффициент жесткости пружины. Обозначив ₀²= k/m, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний (5), общее решение которого определяется формулой (1), а ₀ определяет циклическую частоту собственных колебаний пружинного маятника.

Рис.1

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести тела. При отклонении маятника от положения равновесия на некоторый угол  возникает момент силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия.

Э тот момент равен M = - mgl sin, где

m - масса маятника, а l – расстояние от центра тяжести С тела до оси вращения О (рис.3.). Знак « - » имеет тоже значение, что и в случае формулы (11). Обозначив момент инерции маятника относительно оси О буквой I, можно написать дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

I +mgl sin =0, (13)

или при малых углах +₀² =0, где

₀² = mgl/I, (14)

а период колебаний физического маятника определяется выражением

. (15)

Из сопоставления формул (12) и (15) следует, что математический маятник с длиной

L = I / ml (16)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Величину (17) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, расположенная на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. (см. т. О’ на рис. 3). Точка подвеса и центр качания являются взаимозаменяемыми, т.е. если маятник подвесить за центр качания О’, то его период не изменится и прежняя точка О станет новым центром качания.