Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

1.4. Сложение колебаний одного направления

Воспользуемся представлением гармонического колебания моделью вращающегося вектора амплитуды (рис.4).

Введем ось Х и из точки О, взятой на этой оси, отложим вектор длины А, образующий с осью угол . Если привести вектор А во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция этого вектора на ось х будет изменяться со временем по закону x = A cos (₀t+_о). Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x₁=А₁cos(₀t+₁), x₂= A₂cos(₀t+₂) (17)

Представим оба колебания с помощью векторов (рис.5). Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: x = x₁+x₂

Вектор будет характеризовать результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, как и векторы , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием частотой ₀ и определяемыми значениями амплитуды А и начальной фазой . Из рис.5. видно, что

A² = A₁²+A₂²+2A₁A₂ cos(₂-₁) (18)

(19)

1.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка совершает колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, например, вдоль координатных осей Х и У. Уравнения соответствующих колебаний при этом будут следующими

x = а cost, y = b cos(t+) (20)

Уравнения (20) в параметрической форме задают траекторию, по которой движется тело. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (20) параметр t (время). Проделаем несложные математические преобразования, представляя:

cost = ; sint = (21)

Подставляя (21) в формулу

(cos(+)=coscos-sin sin), получим:

= cost cos-sint sin = cos-sin ² ;

- cos = -sinα ;

или, возводя в квадрат и преобразуя

+ -2 cos = sin² (22)

Это и есть уравнение траектории. В общем случае – это эллипс, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей Х и У. Ориентация эллипса зависит от амплитуд a и b и разности фаз . Найдем траектории в некоторых частных случаях:

1. Разность фаз  = 0, тогда

+ -2 = 0; или ( - )² = 0

Откуда следует, что y = bx/a для |x|  a.

Т очка колеблется по отрезку прямой (рис.6.), причем, ее расстояние от начала координат О равно = .

П одставляя значения х и у, получим:

.

Таким образом, результирующее движение является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой .

2. При  =  из уравнения (22) получим:

+ -2 cos() = sin²(), или + -2 = 0 , т.е. = 0. Отсюда имеем , |х| ≤ a (см. рис.7.). И в этом случае точка колеблется по отрезку прямой.

3. П ри  = /2 уравнение траектории точки принимает вид . Это означает, что точка при своем движении описывает эллипс.

Когда  = /2 материальная точка вращается по эллипсу по ходу часовых стрелок, а при  = - /2 - в противоположном направлении. Стрелками указаны направления движения точки по эллипсу (рис.8.).

1.6. Затухающие колебания

Р ассмотрим колебания механической системы в условиях действия сил сопротивления. Как показывает опыт, в первом приближении сила сопротивления пропорциональна скорости колеблющейся частицы. Тогда закон движения частицы запишется в виде:

m =-kx– r , (23)

где r – коэффициент сопротивления; k – коэффициент упругости, характеризу­ющий возвращающую силу.

Уравнение (23) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

+ 2β + ₀²x = 0, (24)

где β = r/2m –коэффициент затухания; ₀ = - собственная частота колебаний системы. Решение уравнения (24) имеет вид

x = A₀ e^{- βt} cos(t + α), (25)

где  = - частота затухающих колебаний.

График функции (25) показан на рис.9. Амплитуда затухающих колебаний убывает по закону

А = А₀e^{- βt} (26)

Период затухающих колебаний равен

Т = (27)

где ₀= .

С ростом коэффициента затухания β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания β_кр = ₀. При β  β_кр процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис.10).

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  - время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

(28)

отсюда  = 1/β;

2) логарифмический декремент затухания λ, представляет натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

, (29)

где N – число колебаний, совершаемых за время релаксации; T-период колебаний.

3) добротность колебательной системы

, (30)

где Е – энергия системы в момент времени t; ∆Е – убыль энергии за следующий период колебаний.

1.7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учетом вынуждающей силы закон движения материальной точки запишется в виде

m = -kx – r + F₀ cos t. (31)

После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания.

+ 2β + ₀²x = ƒ₀ cos  t , (32)

где ƒ₀ = F/m.

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

x₁ = A₀ e^-βtcos(t + α) , (33)

где  = , А₀ и α – произвольные постоянные.

Эти колебания достаточно быстро затухают, и вынужденные колебания будут определяться частным решением

x₂ = A cos(t – φ). (34)

Здесь А - амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Она равна:

(35)

Величина

(36)

характеризует отставание вынужденных колебаний системы от колебаний вынуждающей силы.

С лагаемое (33) играет значительную роль на начальной стадии процесса установления колебаний. График вынужденных колебаний представлен на рис.11.