Материал: Механические колебания. Упругие волны. методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

Продифференцировав уравнение стоячей волны

 = (x,t) один раз по t, а другой раз по x, найдем выражение для скорости частицы и для деформации среды  в точках х:

= = -2 cos sint, (86)

-2 sin cost (87)

Уравнение (86) описывает стоячую волну скорости, а (87) – стоячую волну деформации (см. рис. 17).

Н а рис.(17) сопоставлены «моментальные фотографии» смещения (x), скорости /t и деформации /x для моментов времени 0 и /4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время, как  и  достигают максимальных значений,  обращается в ноль и наоборот. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную вблизи узлов волны, то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

2.7. Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз (рис.18). Отсюда вытекает условие

l = , или _n = 2 (n = 1,2,3…), (88)

l – длина струны.

Длинам волн (88) соответствуют частоты

_n = (n = 1,2,3…), (89)

– фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы её длины, т.е. линейной плотностью струны.

Частоты _n называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте

₁ = , (90)

называемой основной частотой, т.е. .

Гармонические колебания с частотами (89) еще называют нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой наложение различных гармоник.

Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.

2.8. Акустический эффект Доплера

Эффектом Доплера называется зависимость частоты волн, воспринимаемой приёмником, от скоростей движения источника волн и приёмника по отношению к среде, в которой распространяется волна.

П

202

усть источник волн, колеблющийся с частотой , движется относительно среды со скоростью , а наблюдатель – со скоростью . Задача будет состоять в том, чтобы установить зависимость частоты , воспринимаемой наблюдателем, от , и . Для этого сначала рассмотрим простой случай, когда источник и приёмник движутся навстречу друг к другу вдоль неизменной прямой со скоростями и .

Предположим, что источник волн в начальный момент времени t = 0 начал совершать колебания, а через промежуток времени  – прекратил свою работу.

При этом он совершил колебаний, и в направлении к приёмнику был направлен звуковой импульс. Очевидно, что моменты времени t₁ и t₂ регистрации приёмником переднего и заднего фронтов звукового импульса будут следующими:

и

(см. рис 20).

Промежуток времени регистраций приёмником N колебаний равен

Следовательно, частота, воспринимаемых приёмником колебаний, будет равна

(91)

Теперь полученную формулу (91) обобщим на случай произвольных направлений движения источника и приёмника волн (рис. 21). В формуле (91) (-u₁) и u₂ представляют собой проекции скоростей и на прямую, а разность скоростей - имела смысл относительной скорости их сближения.

В случае произвольных направлений движения источника и приёмника волн проекции их скоростей и на направление вектора , соединяющего приёмник с источником волн, соответственно равны ( ) и ( ) (рис.21). С учетом этого, формула (91) примет вид:

или (92)

Из формулы (92) следует, что в случае относительного сближения источника и приёмника, частота воспринимаемых приёмником колебаний , и наоборот, при относительном их удалении .

2.9. Примеры

1. Плоская волна распространяется вдоль оси x со скоростью = 15 м/с. Две точки, находящиеся на расстояниях х₁ = 5 м и х₂ = 5.5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Δ = /5. Амплитуда волны А = 4 см. Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение ₁ первой точки в момент времени.

Дано: = 15 м/с, х₁ = 5 м, х₂ = 5.5 м, Δ = /5, А = 4 см = =0.04 м, t = 3 c.

Найти: , (x,t), ₁.

Решение. Разность фаз колебаний двух точек волны

Δ =2 Δх /, где Δх = х₂ - х₁ – расстояние между этими точками. Тогда  = 2 (х₂ - х₁)/ Δ.

Циклическая частота ω = 2  /T, где T =  / . Следовательно, ω = 2  /.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,

(x,t)=A cos ω(t – x/ )= A cos ( t – x).

Чтобы найти смещение ₁, надо в это уравнение подставить значения t и х₁.

Вычисляя, получаем: 1)  = 5м;

2) (x,t)=0.04 cos (6 t – (2 /5) х), м; 3) ₁ = 0.04 м.

2. Неподвижный приемник при приближении источника звука с частотой ₀ = 360 Гц, регистрирует звуковые колебания с частотой  = 400 Гц. Принимая температуру воздуха Т = 290 К, его молярную массу М = 0,029 кг/моль, определить скорость движения источника звука.

Дано: ₀ =360 Гц,  =400 Гц, Т = 290 К, М = 0,029 кг/моль.

Найти: .

Решение. Исходя из общей формулы для эффекта Доплера в акустике и учитывая, что приемник покоится, а источник приближается к приемнику, получим

,

где – скорость распространения звука. Отсюда

= (1 - ₀/). Скорость распространения звуковых волн в газах , где для воздуха  =(i+2)/i = 7/5 = 1.4. В результате получаем искомую скорость движения источника звука:

= (1 - ₀/) = 34.1м/с

2.10. Задачи

1. Бегущая волна задана уравнением , где t - в секундах, - в метрах. Вычислить частоту колебаний, скорость и длину этой волны .