Материал: Математическое моделирование. приобретение навыков разработки и использования моделей в машиностроении. Копосов В.Н

Оптимизация вариантов статистического управления качеством

Важной составной частью обеспечения качества материалов и изготавливаемых из них деталей (изделий) является статистиче­ское регулирование соответствующих технологических процес­сов. При этом под статистическим регулированием понимается управление качеством продукции в процессе ее производства с использованием выборочных статистических характеристик для своевременного выявления разладок и осуществления настройки технологических операций на заданный уровень.

Прежде всего надо определиться с целесообразностью кон­троля вообще и выборочного в частности. Очевидно, что сплош­ным должен быть контроль материала ответственных и дорого­стоящих деталей (изделий), плохое качество которых может при­вести к пагубным последствиям, особенно в случаях, когда число контролируемых объектов невелико. Целесообразность выбороч­ного контроля определяется зависимостью связанных с ним сум­марных затрат 3 от доли дефектных изделий q. Схематично в гра­фическом виде эта зависимость представлена на рис. 23.

Экономичность контроля вообще определяется точкой без­убыточности q0, а целесообразность выборочного - дефектно­стью менее q1

Рис. 23. Схема оценки экономической

целесообразности контроля

В процессе производства возникают погрешности, вследствие чего параметры качества отличаются от требуемых (номинальных). Различают два вида погрешностей: случайные и системати­ческие. Случайными называют погрешности, появление которых можно предсказать только с некоторой вероятностью. Система­тические же погрешности можно предсказать методами статисти­ческого анализа.

Значения случайной и систематической составляющих произ­водственных погрешностей характеризуют точность технологиче­ского процесса (величина допусков - конструктивную; степень соответствия фактических отклонений допускам - технологиче­скую).

Для оценки случайной составляющей на точность технологи­ческого процесса, а следовательно на показатель выхода годных изделий, используется коэффициент точности

где - абсолютная величина половины допуска; S - среднее квадратическое отклонение; к - коэффициент, зависящий от ви­да закона распределения. Для оценки вклада систематической со­ставляющей погрешности в точность технологического процесса определяется коэффициент смещения

Коэффициенты точности и смещения предопределяют веро­ятность (коэффициент) выхода годных объектов

Теперь перейдем к статистическому регулированию; оно де­тально разработано применительно к управлению качеством продукции при механической обработке [7]. Использование этого опыта целесообразно и при решении задач управления качеством при обработке материалов, в том числе в деталях, особенно при их массовом производстве. Замет­ного эффекта можно ожидать при определении механических свойств после термической обработки в потоке производства (листы, рессорные заготовки), а также при проверке таких пара­метров, в которых особенно заинтересован потребитель. Так, при закалке и отпуске рессорных заготовок при их массовом производстве и контроле по твердости в течение трех месяцев удалось понизить брак с 0,8 до 0,1% и заметно сократить затраты на проведение контроля; аналогичные результаты были получе­ны и при контроле качества кулачков распределительного вала после закалки ТВЧ [9].

Статистическое регулирование технологического процесса производится относительно границ, определяемых с учетом при­емлемых для данного вида продукции доверительных интервалов. Схема основных видов норм и допусков пока­зана на рис. 24.

Определение границ производится с учетом двух противопо­ложных тенденций:

обеспечение защиты от появления брака или снижения ка­чества продукции;

обеспечение наименьших затрат и потерь производительно­сти от настроек и наладок оборудования, рассортировки продукции и пр.

В первом случае требуется удаление границ регулирования от границ поля допуска, т. е. сужение рабочей зоны между граница­ми регулирования; во втором же наоборот - расширение рабочей зоны между границами регулирования.

Положение границ регулирования определяется допустимы­ми в каждом конкретном случае: долями брака q1 и q2, при которых соответственно не производится и должна производиться на­стройка; рисками а и бр забракования годной продукции (ошибка первого рода) и приемкой дефектной продукции (ошибка второго рода) соответственно.

При необходимости можно воспользоваться готовыми таблицами [22].

Соотношение и зависимости указанных величин представля­ют оперативную характеристику плана регулирования. В графи­ческом виде она представляет собой зависимость вероятности Р приемки партии по результатам выборочного контроля от доли дефектных изделий q, т. е. P(q), (рис. 25).

При этом ошибка первого рода будет

α=1- (36)

а второго рода

(37)

Заметим, что при уменьшении объема выборки характеристи­ка становится более пологой, а при увеличении наоборот - более крутой (параметр X). При изменении же границ регулирования она смещается по оси для долей брака; при расширении границ доля брака возрастает, а при заданной доле брака возрастает риск приемки дефектной продукции. Это обусловливает многочислен­ность вариантов оперативных характеристик.

Рис. 24. Схема основных видов норм и допусков:

а - односторонние нормы;

б - двустороння норма (допуск)

Перемещая оперативную характеристику вправо или влево путем изменения границ регулирования и сжимая или растягивая ее за счет изменения объема выборки, можно обеспечить получе­ние заданных рисков α и β при установленных долях брака q₁ и q₂. В определенном смысле это уже оптимизация, но она относится к планам и границам регулирования без учета экономических пока­зателей, а потому является неполной.

Экономическая эффективность статистического контроля управления качеством определяется планом выборочной провер­ки параметров распределения соответствующего показателя каче­ства.

Рис. 25. Оперативная характеристика плана

статистического регулирования (n₁ < n₂):

а - пониженный объем выборки;

б - повышенный объем выборки

Количественной характеристикой плана выборочного кон­троля, связывающей его с экономическими показателями (поте­рями из-за брака, расходами на контроль), является специальная функция, выражающая вероятность принять центр группирова­ния при различных отклонениях его от заданного уровня. В гра­фическом виде оперативная характеристика плана выборочной проверки центра группирования представлена на рис. 26 (верх­няя ветвь для верхней границы, нижняя - для нижней границы поля допуска). Для всех планов выборочной проверки центра группирования оперативную характеристик можно представить (аппроксимировать) функцией с тремя параметрами: крутизной, которую имеет кривая (λ = ), и положением верхней и нижней ветвей Y⁺, Y^- оперативной характеристики относительно задан­ного уровня центра группирования.

Увеличение первого параметра приводит к удорожанию про­верок, но снижает потери из-за лишних настроек и брака; второй и третий параметры не влияют на стоимость проверок, но меняют общую сумму и соотношение потерь из-за лишних настроек и брака. При изменении комбинации этих параметров меняются суммарные затраты; следовательно, существует наиболее выгод­ная в экономическом отношении комбинация параметров опера­тивной характеристики.

Рис. 26. Оперативная характеристика для

оптимизированного плана: а - распределение средних значений настройки; б - оперативная характеристика плана

Определение такой комбинации является наиболее важной частью расчетов по отысканию оптимального варианта статисти­ческого управления качеством продукции применительно к дан­ной операции.

Таким образом, в содержательной постановке задача опти­мизации статистического регулирования качества материала сводится к отысканию наиболее выгодной комбинации парамет­ров оперативной характеристики и в соответствии с их значе­ниями конкретизации плана выборочной проверки (объем вы­борки, правило забракования и др.).

Характер модели, необходимой для решения такой оптимиза­ционной задачи, в значительной мере определяется спецификой производства; возникает также необходимость учета организаци­онных и технических факторов. В каждом конкретном случае это требует определенных творческих усилий. В связи с этим рас­смотрим лишь общие положения, облегчающие решение задачи в конкретной постановке [9].

В общем случае при решении поставленной задачи возможны несколько вариантов, обозначим их 1, 2,...,i. Возможны также различные состояния объективных условий, в которых осуществ­ляются выбранные варианты; обозначим эти состояния 1, 2, …, j. Каждый вариант решения при каждом из состояний будет иметь свой результат (отдачу) Н_ij. С другой стороны, существует опре­деленная вероятность P_j появления каждого из возможных со­стояний объективных условий и, следовательно, - вероятность P_ij результатов Н_ij для каждого варианта i при условиях j. Мож­но, таким образом, определить математическое ожидание отдачи для всех вариантов

E_i= (38)

При этом распределение вероятности объективных условий ус­танавливается на основании соответствующих опытных данных.

Выразив соотношение (38) через определенный критерий, экстремизируем полученную целевую функцию и определяем ли­бо наименьшие затраты, либо наибольший выигрыш, например по производительности. При этом затраты рабочего времени и материальные затраты пересчитываются по стоимостному экви­валенту.

Изложенный подход к оптимизации способов статистическо­го регулирования качества охватывает эту проблему в целом. Можно ожидать, что на практике применительно к материалам решение таких задач будет проще. Наиболее важным в данном случае является получение опытных данных по потерям из-за ошибок настройки, затратам, связанным с формированием вы­борки, получением оперативных характеристик и пр.

Что же касается самой оптимизационной задачи, то она реша­ется каким-либо из существующих методов.

О порядке проведения работ по выбору материалов и упрочняющих технологий

Ниже приводится рекомендуемый перечень и последователь­ность работ по выбору материалов и упрочняющих технологий [14].

Подготовительная работа

1. Обоснование требований к деталям (материалам) с учетом условий их работы в разрабатываемом изделии.

2. Систематизация и анализ дефектов (отказов), выявленных при эксплуатации изделий-аналогов и корректировка соответст­вующих требований.

Работа по обоснованию (оптимизации) выбора

1. Определение класса и подкласса материалов соответствен­но назначению детали (изделия) при одновременном учете предъ­являемых требований.

2. Выбор группы (подгруппы) материалов с учетом характера напряженного состояния детали при ее работе в изделии в усло­виях эксплуатации.

3. Формирование перечня марок материалов в рамках вы­бранных групп (подгрупп), удовлетворяющих предъявляемым требованиям с учетом потенциальных возможностей улучшения свойств упрочняющей термической обработкой.

4. Проведение сравнительной оценки материалов, входящих в подготовительный перечень:

- по определяющим физико-механическим свойствам;

- массопотреблению (массоемкости);

- стоимости;

- технологичности (обрабатываемости резанием и давлени­ем);

- дефицитности исходных продуктов и составляющих компо­нентов;

- возможности устранения (локализации) дефектов, выявлен­ных при эксплуатации изделий-аналогов.

5. Оптимизация выбора материала математическим модели­рованием работы детали (для ответственных и дорогостоящих объектов).

6. Оптимизация (уточнение) технологии упрочняющей тер­мической обработки выбранного материала по себестоимости возможных вариантов ее осуществления.

7. Оптимизация выбора и размещения оборудования, необхо­димого для проведения упрочняющей термической обработки.

8. Выбор методов и оптимизация системы контроля качества материала детали (изделия) в процессе производства.

Лекция 15-16 Объемное планирование работы технологических станочных систем

Эта и все последующие лекции посвящены вопросам математического моделирования и оптимизации технологических станочных систем.

Объемное планирование работы механического

Участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования

 Постановка задачи. Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j - ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – B_i. Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 14.

Таблица 14

Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.

Математическая модель для решения задачи:

Ограничения:

. . .

Управляемые параметры:

.

Целевая функция:

Задача решается методом линейного программирования. При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (39) - (41) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.

Пример. Исходные данные для примера в таблице 15.

Таблица 15

Обозначим через количество деталей типа D₁, через количество деталей типа D₂.

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

Ограничения (по фонду времени работы оборудования):