Материал: Математическое моделирование. приобретение навыков разработки и использования моделей в машиностроении. Копосов В.Н

Введение

Математическое моделирование - это дисциплина, занимающаяся исследованием систем путем построения и изучения их моделей.

В качестве учебной дисциплины, дисциплина «Математическое моделирование» играет важную роль в подготовке инженеров. Ее значение заключается в том, что на ней базируется любой метод научного исследования, она позволяет освоить методологические и математические средства исследования систем, в том числе, и машиностроительных. От того, насколько профессионально выполнено моделирование, зависит качество принимаемого решения.

Целью данного пособия является приобретение навыков разработки и использования математических моделей для описания, исследования и оптимизации процессов в машиностроении. Основной материал лекций основан на разработках к.т.н., доцента Ивановского государственного энергетического университета Копосова В. Н.

Достижению данной цели служит изучение: 1) общих понятий математического моделирования процессов в машиностроении; 2) теоретических основ математического моделирования и оптимизации процессов в машиностроении; 3) вопросов математического моделирования физических процессов в технологических системах; 4) вопросов математического моделирования и оптимизации технологических станочных систем.

Материал учебного пособия соответствует программе подготовки специалистов по специальности 120100 (151001) «Технология машиностроения». Оно ориентировано главным образом на изучение студентами дисциплины "Математическое моделирование в машиностроении".

Лекция 1 Математическое моделирование силового взаимодействия в зоне резания при изготовлении деталей на станках

Методы расчета сил резания при обработке деталей на металлорежущих станках рассматриваются в курсе «Резание металлов» [2]. Например, для расчета сил резания при точении используются следующие формулы:

где – соответственно, осевая, радиальная и тангенциальная составляющие силы резания

– константы (удельные силы резания), учитывающие влияние на силы резания всех прочих параметров, не входящих в формулы (геометрии инструмента, вида обрабатываемого материала, смазочно - охлаждающей технологической среды (СОТС) и т.д.);

t, s, v - глубина, подача и скорость резания;

x, y, z - показатели степени, выражающие влияние соответствующего параметра режима резания на силы резания;

K_ОБЩ - коэффициент, учитывающий дополнительно влияние на силы резания свойств обрабатываемого, инструментального материала и т.д.

При сверлении для определения силовых параметров используются следующие формулы:

где M_КР, P₀ – соответственно, крутящий момент и осевая сила резания;

C_m, C_p - константы, зависящие от свойств обрабатываемого материала и вида обработки;

D - диаметр обрабатываемого отверстия;

s - подача;

q, y - показатели степени, определяющие степень влияния соответствующего параметра на крутящий момент или осевую силу резания;

K_p - коэффициент, зависящий от свойств обрабатываемого материала.

Представленные уравнения – это уже один из вариантов математической модели процесса точения, сверления с точки зрения действующих сил [10]. Представленная модель может служить для :

1. Описания процесса резания.

2. Исследования процесса резания.

3. Расчета сил резания.

Например, с помощью данной модели можно исследовать зависимость силы резания от глубины резания ( рис.1)

Рис.1. Зависимость силы резания Pz от глубины резания t

Использовать математическую модель процесса резания в таком виде, например, для проведения оптимизации режимов резания нельзя, она слишком проста. Для оптимизации математическая модель должна иметь следующие элементы:

1. Критерий или критерии оптимизации.

2. Целевую функцию.

3. Систему ограничений.

4. Систему уравнений, описывающих объект.

5. Входные, выходные и внутренние параметры.

6. Управляемый (варьируемый) или управляемые (варьируемые) параметры, которые выделяются из числа внутренних параметров.

Пример. Однопараметрическая однокритериальная оптимизация режимов резания.

Пусть требуется определить оптимальную подачу , при этом глубина резания постоянна ( ).

1. Критерий оптимизации - сила резания .

2. Целевая функция – зависимость между критерием (критериями) оптимизации и подлежащими оптимизации параметрами с указанием направления (вида) экстремума. В нашем примере она имеет следующий вид:

3. Система ограничений включает в себя лишь одно из них:

4. Система уравнений. Математическая модель в нашем примере включает в себя одно уравнение

5. Входные параметры –

   • выходной параметр –

   • внутренние параметры –

6. Управляемый (варьируемый) параметр –

Задача оптимизации решается в два этапа (рис.2):

Этап 1. Определение области допустимости решений (работаем с ограничениями) – ОДР.

Рис. 2. Графическая иллюстрация решения

задачи оптимизации

Этап 2. Определение оптимального параметра –

В общем виде математическая модель объекта записывается:

где – вектор выходных параметров,

– вектор внутренних параметров,

– вектор внешних (входных) параметров,

Для приведенной выше математической модели процесса резания:

Любой объект не может существовать обособленно, без взаимосвязи с другими объектами (окружающей средой). Для процесса резания элементами окружающей среды являются обрабатываемый и инструментальный материалы, смазочно-охлаждающая жидкость, образующаяся в результате обработки стружка и т.д. Для технологического процесса в ходе его реализации- это технологическое оборудование, режущий инструмент, элементы приспособления и т.д. Для технологической системы (механического участка из универсальных станков или станков с ЧПУ, автоматической линии и др.) элементами окружающей среды являются другие технологические системы, цеховой транспорт и т.д.

Структурная схема объекта моделирования представлена на рис.3.

Рис.3. Структурная схема объекта моделирования

Эти математические модели используются для практических расчетов. Они получены эмпирическим путем, т.е. на основании проведения экспериментов и обработки их результатов.

Лекция 2 Порядок проведения силовых экспериментов и аппроксимации результатов измерений (получения математических моделей)

 В качестве измерительных приборов при проведении силовых экспериментов для измерения сил резания используются динамометры. Их схемы и принципы работы приведены в специальной литературе и рассматриваются в соответствующих разделах курса «Резание металлов».

При установлении силовых зависимостей, как правило, проводят однофакторные эксперименты. В ходе таких экспериментов варьируют только тем параметром (фактором), влияние которого изучают, а все остальные факторы за время опыта остаются постоянными. Например, устанавливают влияние подачи на силу резания. Принимают разные значения подачи и измеряют соответствующее им значения силы резания. Все остальные параметры, а именно, обрабатываемый и инструментальный материалы, геометрические параметры резца, вид СОТС, глубину, скорость и т.д. оставляют неизменными.

Конечная цель эксперимента - установление функциональной связи (зависимости) между варьируемым параметром и силой резания и описание этой зависимости математической формулой. После установления всех частных зависимостей получают общую зависимость способом, приведенным ниже.

Каждый эксперимент состоит из ряда опытов. В каждом опыте принимаются разные значения исследуемого параметра. Для обеспечения требуемой точности эксперимента в каждом опыте проводится определенное количество повторений или дублей. Например, для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,9 количество дублей в каждом опыте должно быть не менее 5. Для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,95 количество повторений должно быть не менее 7.

Прежде чем математически обработать полученные экспериментальные данные значения силы, полученные в каждом опыте, усредняют [6]. Обозначим значение силы через «y» , а значение исследуемого параметра через «x». Т.е., например, «y» - это P_X ,или P_Y ,или P_Z , а «x» - s ,или t , или v. Среднее значение силы в каждом опыте y определится следующим образом:

где i – номер текущего опыта;

m – количество повторений в i – ом опыте;

j – номер текущего дубля или повторения;

y_j – значение силы в j – м дубле;

n – количество опытов в эксперименте.

После этого все данные сводятся в таблицу:

Полученные экспериментальные данные для получения формул подвергают следующей обработке. Сначала выбирают формулу для описания будущей зависимости. Важно правильно выбрать вид аппроксимирующей формулы («аппроксимация» - упрощение в том смысле, что зависимость между функцией «y» и аргументом «x» воплощена и в виде приведенной выше таблицы, но эта зависимость более просто будет описана в виде аппроксимирующей формулы).