Материал: Математическое моделирование. приобретение навыков разработки и использования моделей в машиностроении. Копосов В.Н

Целевая функция (суммарное время работы всех групп оборудования):

Требуется найти значения и , удовлетворяющие заданным ограничениям (44) – (48) и обеспечивающие максимум целевой функции. Параметры и являются управляемыми параметрами в математической модели.

Решим задачу графо – аналитическим методом. Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 27.

Рис.27. Графическая иллюстрация решения задачи

Вычисления для построения ограничений (44) – (46):

Направления допустимости ограничений (44) – (46) – «вниз – влево».

Ограничения (47) и (48) – это оси координат. Направления их допустимости – «вправо» и «вверх».

Для нахождения точки касания границы ОДР прямой линией, определяющей целевую функцию, построим сначала произвольную прямую для целевой функции, приравняв ее выражение к произвольному числу в пределах масштаба построений, например к 1500:

Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат (точки пересечения ограничений 45 и 46) решаем следующую систему уравнений:

Т.е. окончательно

Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:

Задача о минимальной загрузке оборудования

 Эта и последующие задачи в данной лекции приводятся на уровне постановки задачи и формирования математической модели для ее решения. Все они решаются методами линейного программирования [1].

Имеется m станков, на которых могут быть изготовлены n типов деталей. Производительность i - го станка при изготовлении детали j - го типа составляет C_ij. Величины плановых заданий A_j на изготовление j - ой детали и ресурс времени B_i работы i - го станка приведены в таблице 16.

Таблица 16

Требуется, учитывая ресурсы времени работы каждого станка распределить задания между станками таким образом, чтобы общее время работы всех станков было минимальным.

Пусть t_ij - время изготовления j - ой детали i - м станком. Составим ограничения по ресурсу времени для каждого станка:

Условия выполнения плановых заданий имеют вид:

Решение поставленной задачи состоит в минимизации линейной целевой функции (суммарного времени)

при ограничениях (49), (50) и условии, что все переменные .

Задача об оптимальном распределении деталей по станкам

 Пусть некоторая машина состоит из различных видов деталей, которые мы пронумеруем числами . Имеется типов различных станков, причем количество станков - го типа равно . Детали могут быть изготовлены на станках разного типа. Производительность станка - го типа при изготовлении - ой детали составляет . После изготовления детали поступают на сборку. Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы в единицу времени получать максимальное количество машин.

Пусть - количество станков - го типа, на которых можно изготовить - ю деталь. Очевидно, что количество станков - го типа, изготавливающих детали видов, не должно превышать заданное число :

Общее количество деталей - го вида, изготовленное на станках за единицу времени, составляет . В каждой машине имеется ровно одна деталь с номером , . Поэтому, для того чтобы не было изготовлено лишних и не было дефицитных деталей, должны выполняться условия комплектности:

Общее количество комплектов деталей, необходимых для сборки машины, равно общему количеству какой-либо одной детали, имеющей, например, номер 1. Поэтому решение задачи заключается в максимизации линейной функции

при ограничениях (52), (53) с дополнительным условием, что все переменные .

Найденные оптимальные значения этой задачи не обязательно целые числа. Например, означает, что на двух станках первого типа в течение единицы времени будут изготовлять деталь с номером 1, тогда как третий станок того же типа будет работать лишь половину указанного времени.

Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья

 Из видов сырья производится различных типов продукции. Стоимость реализации изготовленной продукции - го типа составляет . Запас сырья - го вида на планируемый период равен [23]. Потребность в сырье - го типа составляет . Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 17.

Таблица 17

Требуется для каждого типа продукта определить такой объем производства , чтобы обеспечить максимальную стоимость реализации изготовленной продукции при условии, что не будут превышены запасы имеющегося сырья.

Ограничения по запасам сырья имеют вид:

Задача заключается в том, чтобы определить оптимальные значения параметров (переменных) , обращающих в максимум стоимость продукции, т.е. целевую функцию

при ограничениях (55) и дополнительных условиях .

Лекция 17

Оперативно – календарное планирование в технологических системах

на основе теории расписаний

Элементы (основы) теории расписаний

Качество функционирования современного производства во многом определяется решениями, принимаемыми на этапах календарного планирования и оперативного управления. Особенно это актуально в связи с созданием современных автоматизированных производств – гибких производственных систем (ГПС). Системы оперативно – календарного планирования современных производств строятся в том числе и на достижениях так называемой «теории расписаний» [29].

Теория расписаний – это наука, занимающаяся исследованиями детерминированных обслуживающих систем на предмет оптимизации расписаний их функционирования.

Примеры таких систем:

• цех, участок, на станках которых осуществляется обработка деталей;

• ВУЗ, где преподаватели обучают студентов и т.д.

В любом случае имеется конечное множество требований (деталей, преподавателей и т.д.) и конечное множество приборов (станков, групп студентов и т.д.) .

Предполагается, что i – е требование на каждой стадии его обслуживания q (например, на каждой операции технологического процесса) может быть обслужено любым из приборов (но не более, чем одним одновременно). Предполагается также, что каждый прибор одновременно может обслуживать не более одного требования.