Материал: Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон

ется в процессах обмена с окружающей средой, а быстрые процессы представляют собой необратимые внутренние изменения.

Иерархическое разделение процессов по характерным временам их осуществления фактически лежит в основе теоремы о минимуме скорости производства энтропии в стационарном состоянии. Действительно, рассмотрим два сопряженных процесса, описываемых уравнениями Онзагера:

J1 = L11X1 + L12X2,

J2 = L21X1 + L22X2.

Очевидно, что установление (квази)стационарного режима лишь для одного из двух рассматриваемых процессов, на-

пример J1 = 0 при J2 ≠ 0, возможно только в ситуации, когда

стационарному процессу соответствует некоторое дифференциальное уравнение, соответствующее «быстрому» изменению значения одной из внутренней переменных. Второй

процесс с J2 ≠ 0 соответствует медленно меняющейся пере-

менной, которая остается практически неизменной в пределах времени установления стационарного состояния по быстрой переменной. Это равносильно предположению о рас-

слоении системы на две подсистемы с «быстрыми» и «медленными» переменными, т. е. предположению о наличии двух масштабов времен для рассматриваемых процессов.

Разделение переменных на быстрые и медленные широко используют в химической кинетике под названием метода

(квази)стационарных концентраций. Данный метод позво-

ляет сократить в математических моделях исходное число дифференциальных уравнений. Для химически реакционноспособных систем, функционирующих вблизи термодинамического равновесия, это соответствует переводу (за счет быстро меняющихся переменных) подсистемы интермедиатов в стационарное состояние, в котором скорость производства энтропии (функционал Релея–Онзагера) минимальна. Иными словами, подсистема интермедиатов с быстро меняющимися

235

переменными становится при этом подсистемой «внутренних» переменных, в то время как подсистема с медленно меняющимися переменными – подсистемой «внешних» переменных.

В системах, удаленных от равновесия, также возможно расслоение на подсистемы с быстрыми и медленными переменными. При этом подсистема с быстрыми «внутренними» переменными характеризуется минимимумом соответствующей функции Ляпунова (если такая функция существует для конкретной схемы процесса).

Методы описания систем, «расслаивающихся» по временнóй иерархии происходящих в них процессов, интенсивно разрабатывают в современной химической технологии и биофизике. Эти методы основаны на использовании моделей, где учитываются взаимодействие механистических (детерминистских) и статистических степеней свободы и их вклад в процессы переноса и трансформации энергии в системах с очень сложной иерархией процессов (например, каталитических и биологических).

§ 4.2. Проблема устойчивости динамического процесса

Возможность иерархического «расслоения» сложных систем по характерным временам происходящих в них процессов затрудняет прямое использование приемов термодинамики и обусловливает сложность введения понятия устойчивости в применении к очень сложным, особенно биологическим, системам. Данная проблема касается соответствия общих принципов механики и статистической физики и выходит за рамки курса.

В основе статистического подхода к описанию поведения системы, состоящей из большого числа частиц, лежит неустойчивость механических траекторий отдельных частиц. Небольшие по величине случайные возмущения в движении этих частиц приводят в результате к столь сильным последствиям, что вид траектории отдельной частицы уже не определяется начальными условиями. В результате в системе на-

236

блюдается глобальная неустойчивость механических состояний отдельных частиц и система в целом становится статистической, а траектории отдельных частиц – практически непредсказуемыми. В то же время в реальных системах могут наблюдаться только состояния, соответствующие устойчивым решениям любой динамической (кинетической) задачи. С точки зрения статистического подхода динамическое решение для конкретного исходного состояния ансамбля частиц является флуктуацией, а развитие неустойчивости при разрушении этого решения – релаксацией флуктуации.

Одновременное обладание системой статистических и детерминистских свойств тождественно разделению степеней свободы системы на сильнонеустойчивые и устойчивые. Например, для сосуда с газом по относительно устойчивым степеням свободы система далека от термодинамического равновесия (это подсистема жестких стенок сосуда), а статистические свойства определяются неустойчивыми степенями свободы (это подсистема молекул газа).

Неустойчивые степени свободы определяют число возможных различных микросостояний, которыми может быть осуществлено данное макроскопическое состояние. Именно числом этих микросостояний, или их термодинамической вероятностью Ω, и определяется полная энтропия S системы. Согласно формуле Больцмана,

S = kБlnΩ,

где kБ – постоянная Больцмана. При «расслоении» системы на несколько возможных микросостояний, объединяемых в макроскопические (квази)стационарные состояния

Ω = Ωмикро Ωстац.сост.,

где Ωмикро – число способов, которыми реализуются микросостояния в стационарном состоянии, а Ωстац.сост. – возможное число стационарных состояний. Следовательно, общая энтропия системы в этом случае

S = Sмикро + Sстац.сост..

237

В полностью устойчивых системах реализуется только единственное динамическое решение, т. е. одно макросостояние. Поэтому и число способов, или микросостояний, которыми осуществляется это единственное макросостояние, равно единице (Ωмикро = 1), а следовательно, соответствую-

щая ему энтропия Sмикро может быть принята равной нулю*. В реальных системах энтропия характеризует неустойчи-

вые степени свободы, поскольку именно при использовании статистического описания системы становится применимым понятие энтропии. При этом по неустойчивым степеням свободы обычно подразумевают наличие термодинамического равновесия. В то же время по строго детерминистическим (механическим) степеням свободы система не находится в состоянии термодинамического равновесия. Более того, само понятие энтропии можно применять лишь к тем степеням свободы, по которым за время наблюдения в системе развивается неустойчивость. Устойчивые степени свободы не дают вклада в статистический вес системы и не учитываются в ее общей энтропии. С этой точки зрения твердые стенки сосуда с газом – гигантская термодинамическая флуктуация, релаксирующая за время существования сосуда, т. е. за время, намного большее времени наблюдения за системой. Поэтому использование понятия энтропии для существенно неравновесных и гетерогенных систем оправдано лишь по отношению к выделенным статистическим степеням свободы. Например, в биологических системах понятие энтропии можно применять только по отношению к конкретным метаболическим процессам. Пренебрежение этим обстоятельством может вызывать серьезные ошибки при попытках дать чисто термодинамическую трактовку явлению «жизнь».

* На самом деле Sмикро = 0 в данном контексте означает лишь одно микросостояние с фиксированной S > 0, определяемой термодинамической

вероятностью этого состояния.

238

§ 4.3. Связь энтропии и информации

Связь понятий энтропии и информации раскрывалась в основном по мере изучения информационных процессов в биологии. Как известно, одной из основных и самых существенных особенностей живых биологических объектов является наличие в них молекулярных информационных систем, в которых производится, записывается, передается, перерабатывается и воспринимается важнейшая для функционирования живых объектов наследственная биологическая информация.

Когда исследователь получает информацию о действительном состоянии системы, первоначальная неопределенность, которой характеризовались его знания о системе, уменьшается. Очевидно, количество полученной информации в этой ситуации будет тем больше, чем больше была исходная неопределенность в состоянии системы.

Пусть число микросостояний, которыми можно осуществить данную систему, равно Ω, а вероятность каждого из них одинакова и равна p = 1 / Ω. Допустим, что в простейшем случае мы получаем сообщение о единственном и реальном состоянии системы. В теории информации количество информации I, содержащееся в этом сообщении, принято считать равным

За единицу количества информации (бит) принимают ин-

формацию, содержащуюся в достоверном сообщении при исходном числе возможных событий, равном Ω = 2

(априорная вероятность события равна p = 1 / 2). Таким образом,

I = log22 = 1 бит.

Такое количество информации содержится, например, в сообщении о том, на какую сторону упала при бросании в воздух монета. Аналогично информация о том, какая из 64 клеток шахматной доски занята одной избранной фигурой, содержит

I = log264 = 6 бит.

239