Материал: Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон

Формула (4.1) справедлива для упрощенной ситуации, когда возможны Ω равновероятных событий. В более общем случае, когда исходно возможны N событий с набором вероятностей p1, p2, ..., pN, количество информации, соответствующей этой ситуации, определяют как

j=1

Выражения (4.1) и (4.2) были предложены К. Шенноном для оценки абсолютного количества информации при передаче сообщений о событии, которое априори может произойти с некоторой вероятностью.

Сопоставляя формулу (4.1) с формулой Больцмана для системы с тем же числом микросостояний Ω, легко обнаружить формальную связь между энтропией и информацией:

S(Дж / К) = kБlnΩ = kБln2 I (бит) ≈ 0,96 10–24 I (бит).(4.3)

Следовательно, одна единица «физической» энтропии 1 Дж / К примерно соответствует 1024 бит, или 1 бит информации эквивалентен kБln2 ≈ 10–24 Дж / К.

Совпадение (с точностью до множителя) выражений для энтропии и информации имеет глубокий смысл: энтропия

системы и информация о системе являются взаимосвязанными. Можно считать, что информация эквивалентна

разности между максимально возможной энтропией системы и той энтропией, которой на самом деле обладает система в рассматриваемый момент времени или, наоборот, энтропия эквивалентна информации, недостающей для полного описания системы. Последнее выясняется по-

сле получения информации о системе.

Взаимосвязь значений количества энтропии и информации свидетельствует о формальной идентичности величин I и S через соотношения (4.1)–(4.3). Эта взаимосвязь была выявлена Бриллюэном и сформулирована в виде негэнтропийного принципа информации. Принято считать, что проблема эквивалентности параметров I (бит) и S (Дж / К) в некотором

240

смысле подобна проблеме эквивалентности массы и энергии вследствие справедливости соотношения Эйнштейна E = mc2.

Существенно, что сказанное справедливо лишь по отно-

шению к макроинформации, т. е. информации о реализа-

ции в данный момент одного из возможных макросо-

стояний системы. Микроинформация в принципе не может быть зафиксирована, так как любое из микросостояний может быстро перейти в другое из-за сильной неустойчивости микроскопических движений и наличия тепловых флуктуаций. Например, в биологии, как и в вычислительной технике, системой реально запоминается лишь макроинформация, ряд свойств которой будет описан ниже. Поэтому соотношение Бриллюэна не связывает макроинформацию с физической энтропией динамически неустойчивых степеней свободы.

§ 4.4. Количество биологической информации

Используя соотношения теории информации, можно оценить количество информации, содержащейся в организме, составными элементами которого являются отдельные клетки.

Так, в теле человека приблизительно содержится 1013 клеток. Будем считать, что все они уникальны и их нельзя менять местами без нарушения целостности организма. Априори число способов, которыми может быть осуществлена структура из данного числа клеток, составит Ω = 1013!. Поэтому а количество информации, содержащееся в сообщении о построении заданной конкретной структуры рассматриваемого тела, составляет

I = log2(1013!) 1013 log21013 4 1014 бит.

Понижение энтропии при построении упорядоченного конкретного организма человека из системы до этого хаотически размещенных 1013 клеток составит

S = 10–24 4 1014 Дж / К 4 10–10 Дж / К.

Количество содержащейся в организме информации оценивается существенно большей величиной, если учесть уни-

241

кальность расположения аминокислотных остатков в молекулах ДНК. В теле взрослого человека содержится 150 г ДНК, что соответствует 3 1024 аминокислотных остатков. При этом общее количество информации, соответствую-

энтропии на S ≈ 1200 Дж / К по сравнению с полностью хаотичной смесью аминокислотных остатков.

Очевидно, что найденное понижение энтропии при возникновении даже сложнейшей биологической структуры – организма человека, на самом деле незначительно и эквивалентно уменьшению энтропии при конденсации 170 см3 паров воды. В процессах метаболизма понижение энтропии на 1200 Дж / К с легкостью может компенсироваться увеличением энтропии при окислении 900 г глюкозы.

Таким образом, формальное применение выражений (4.1) и (4.3) показывает, что степень упорядоченности и, следовательно, количество информации, содержащейся в биологических системах, мало и не превышает таковую в твердом теле той же массы.

§ 4.5. Ценность информации

В предыдущих рассуждениях мы полагали, что упорядоченность элементов в живом объекте имеет одинаковое значение во всей системе для ее построения. Однако на разных уровнях организации живого ценность информации, закодированной в биологических структурах, может быть различной.

Усложнение биологической системы происходит за счет увеличения числа разнородных элементов системы и связей между ними. Если на данном уровне организации системы возрастает незаменимость ее элементов, это означает увеличение ценности содержащейся в системе информации. Очевидно, что ценностью обладает лишь неизбыточная информация, связанная с незаменимыми элементами. Избыточная информация – это повторная, дублирующая информация, которая также играет важную роль, уменьшая вероят-

242

ность разрушения ценной информации шумом при ее передаче. С этой точки зрения любая апериодическая система содержит значительно большее количество незаменимых элементов, а следовательно, большее количество ценной неизбыточной информации, чем имеющий тот же брутто-состав периодическая система, где элементы взаимозаменяемы.

Ценность информации определяют по степени неизбыточности, или незаменимости, сообщения. Например, количество информации, закодированной последовательностью из n кодирующих нуклеотидов общего типа (аденин, гуанин, тимин, цитозин), в цепи ДНК равно

I1 = log24n = 2n бит.

Однако на следующем уровне в белковой цепи количество содержащейся информации уменьшится по сравнению с уровнем ДНК, поскольку каждый из 20 аминокислотных остатков кодируется тремя нуклеотидами. Поэтому реальное количество информации в белковой цепи, синтезированной на n нуклеотидах, равно

I2 = log2 20n/3 = 1,44n бит.

Таким образом, первоначальное количество информации низшего уровня (ДНК) уменьшается на более высоком уровне (белок). В данном случае это обусловлено особенностью «триплетного» кода живых организмов на планете Земля: один и тот же аминокислотный остаток кодируется разными кодонами, состоящими из последовательности трех нуклеотидов. При этом общее число кодонов 43 = 64 больше числа аминокислот (их всего 20). На следующем уровне возможны замены некоторых аминокислот другими без существенных изменений свойств белка. Тем самым количество действительно незаменимых аминокислот уменьшается (N < 20), а количество информации I3 на этом уровне соответственно падает:

I3 = log2 Nn/3 < log2 20n/3 = I2.

При этом, например, на участке ДНК из 600 нуклеотидов заключена информация IДНК = log2 4600 = 1200 бит, а информа-

243

ция IБ в первичной последовательности белка, синтезирован-

ной на этом участке и содержащей 200 аминокислот, уже меньше и составляет IБ = log2 20200 = 860 бит.

Разница I = IДНК – IБ = 340 бит является избыточной и самостоятельной ценности не представляет. Таким образом,

каждый последующий уровень организации структуры, хранящей биологическую информацию, уменьшает количество незаменимой информации. Отсюда следует, что на более высоких уровнях организации возрастает ценность содержащейся в их элементах информации по сравнению с первоначальной информацией низшего уровня. Это уменьшение количества информации первого низшего уровня можно заменить уменьшением числа элементов следующего уровня. Тем самым ценность элемента информационного сообщения на более высоком уровне повышается по сравнению с низшим, что может быть определено как повышение степени незаменимости этого элемента.

Полагают, что эволюция живых организмов по Дарвину самым непосредственным образом связана с возможностью закрепления ценной (например, для выживания системы) биологической информации, возникающей в ходе спонтанных мутаций наследственного аппарата организмов на молекулярном уровне. При этом завершенное в 2000 г. Исследование геномов человека и существенно более низко организованных организмов типа червей показало, что их полные геномы (т. е. носители незаменимой ценной биологической информации) количественно различаются весьма незначительно и в сумме не превышают 30–40 тыс. генов.

§ 4.6. Рецепция и возникновение информации в динамических системах

Основным условием восприятия информации является способность динамической рецепторной системы переходить в одно из возможных устойчивых состояний вследствие полученной информации. Иными словами, информационная система должна быть мультистационарной. При этом число ус-

244