Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия

A

где А – заданная на плоскости область интегрирования (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Пример области интегрирования

Используя изложенный в [2, 3] способ сведения интегралов к форме м. о., преобразуем интеграл (2.19) следующим образом:

где f(t1,t2) – любая п. р. в. двухмерной с. в., не равная нулю в области интегрирования А, а функция H(t1,t2) определяется следующим образом:

Из выражения (2.20) видно, что искомый интеграл представляет собой м. о. функции двух с. в. х1 и х2, распределённых в соответствии с совместной п. р. в. f(t1,t2), а именно:

Если в формуле (2.21) использовать независимые с. в. х1 и х2 с плотностями f1(t) и f2(t) соответственно, то их совместная п. р. в. f(t1,t2) = f1(t1)f2(t2), и тогда

Вформе (2.22) интеграл рассчитывается статистическим методом проще,

чем в форме (2.21), так как датчики для одномерных независимых с. в. х1 и х2 реализуются легче, чем для двухмерных зависимых с. в.

Вданной лабораторной работе требуется вычислить двойной интеграл

вконечной области А, поэтому в целях упрощения расчётов можно использо-

76

вать равномерно распределённые с. в. x1 R[a, b], x2 R[c, d], где интервалы (а, b) и (c, d) заданы так, чтобы охватить всю область А (рис. 2.7).

В этом случае выражение для м. о. (2.22) упрощается. Поскольку при таких

h(x1,x2) при попадании точки (x1,x2) в область A и нулю – в противном случае.

Координаты точек (x1,x2) легко можно разыграть в двух столбцах на листе Ms Excel, используя функцию СЛЧИС.В соседнем столбце также нетрудно вычислить значения

функции H(x1,x2), которые она имеет в этих точках. Далее, используя эмпирическое м. о. этой функции вместо точного, остаётся вычислить, в соответствии с формулой (2.25), приближённое значение искомого интеграла:

2. Оценка погрешности расчёта интеграла сводится к определению выбо-

рочной дисперсии ˆ по столбцу значений функции H; доверительный интервал

D

для точного значения интеграла I при длине выборки N таков: с вероятностью

1– 0,0027

77

Если значение функции Н в точке Ti j обозначить через Нi j, то сеточную оценку IС определённого интеграла I можно вычислить по формуле

Координаты точек Ti j можно быстро получить с помощью приёма, описанного в конспекте лекций [3]. В столбец A введите арифметическую прогрессию

0, 1, …, 9999 посредством меню Правка/Заполнить/Прогрессия… . В ячейку

B1 запишите формулу =ЦЕЛОЕ(A1/100)/100, а в ячейку C1 – формулу =ОСТАТ(A1;100)/100. Скопируйте ячейки B1 и C1 вниз на 10000 строк. Теперь в диапазоне B1:C10000 построчно записаны координаты 10000 точек, регулярной сеткой покрывающих единичный квадрат. С помощью линейного преобразования полученных величин сформируйте в соседних столбцах D и E координаты точек Ti j, покрывающих регулярной сеткой требуемый интервал (а, b)×(c, d). Через эти координаты уже непосредственно определяются значения Hi j и сеточная оценка интеграла (2.28), соответствующая вашему варианту задания.

Варианты заданий

В данной лабораторной работе требуется вычислить кратный интеграл

I = ∫h(x, y)dxdy ,

а область интегрирования А определена как часть плоскости, лежащая внутри круга x2 + y2 ≤ (2r)2 , причём только в тех его подобластях, где h(x, y) ≥ 0.

Параметр r определяется в зависимости от номера варианта № по формуле

вания, определяемых условием h(x, y) ≥ 0 (на рисунке они заштрихованы). Анализ условия h(x, y) ≥ 0 показывает, что точка F1 с координатами (–r, 0) и точка F2 с координатами (r, 0) являются фокусами гипербол и эллипсов, образующих границы заштрихованных подобластей. Часть этой заштрихованной площади, заключенная в круге с заданным радиусом 2r и с центром в точке O, является областью интегрирования А.

График подынтегральной функции (2.29) имеет вид, представленный на рис. 2.10. Эта функция является «мгновенным снимком» интерферирующих волн, поднятых двумя камнями, одновременно упавшими на поверхность воды в точках F1 и F2. «Физический смысл» рассчитываемого интеграла – это средняя высота, на которую поднялись волны в фиксированный момент времени в пределах круга радиуса 2r.

78