Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия
В ячейку B3 введите формулу =ЕСЛИ(($A3<B$1)*($A3>A$1);B$2;0).
Эта формула выдаёт первое возможное значение с. в., если число в ячейке A3 (это БСВ) находится в первом вероятностном отрезке, указанном ячейками A1 и B1, т. е. от 0 до 0,1 (ячейка A1 должна быть пустой). Скопируйте B3 вправо на диапазон B3:F3. В нём появляется строка из нулей и одного значения, выбранного из таблички в качестве реализации с. в. x. Автоматический выбор этого значения организуйте в ячейке G3. Для этого запишите в неё формулу =СУММ(B3:F3). Нажимая ключ F9, убедитесь, что в G3 теперь появляются возможные значения нашей дискретной с. в.
Теперь скопируйте строку A3:G3 вниз на 10–20 строк, выделите и скройте столбцы A-F. Оставшийся видимым столбец G содержит только выборку значений заданной дискретной с. в. По ключу F9 эти значения обновляются.
На основе выполненного примера, путём корректировки использованных в нём данных, нетрудно построить датчик дискретной с. в., указанной для вашего конкретного варианта заданий. Постройте требуемый датчик и сгенерируйте выборку из 10000 значений с. в.
2. Чтобы рассчитать по выборке эмпирическое м. о. и эмпирическую дисперсию, используйте функции СРЗНАЧ и ДИСПР. Сравните найденные две эмпирические характеристики с точными теоретическими значениями м. о. и дисперсии, определяемыми по формулам:
K |
|
M (x) = ∑p j x j ; |
(2.7) |
j =1 |
|
K |
|
D(x) = ∑p j x2j − M 2 (x) , |
(2.8) |
j =1
где в нашем случае K = 7. Для вычисления сумм в формулах (2.7) и (2.8) используйте функцию СУММПРОИЗВ.
Нажимая клавишу F9, понаблюдайте, как значения эмпирических оценок СРЗНАЧ и ДИСПР изменяются в результате изменения всей выборки, но остаются близкими к точным теоретическим значениям оцениваемых характеристик.
3. Для получения гистограммы эмпирического распределения воспользуй-
тесь командой меню Сервис/Анализ данных… (если опция Анализ данных
вменю отсутствует, то нужно вначале в меню Сервис/Надстройки… выбрать пункт Пакет анализа и нажать ОК). Сформируйте на свободном месте столбец возможных значений вашей с. в., упорядоченных по возрастанию, – так называемые «карманы» (частотные интервалы), и войдите в меню Сервис/Анализ данных…/Гистограмма. В открывшемся диалоговом окне укажите в боксе Входной интервал диапазон ячеек, содержащих вашу выборку,
вбоксе Интервал карманов укажите диапазон карманов, затем в области Параметры вывода этого диалогового окна выберите опцию Выходной интервал и укажите в её боксе нужное вам положение таблицы для гистограммы (можно указать только её верхнюю левую ячейку). Нажмите ОК.
66
В указанном вами месте появится таблица из двух столбцов Карман и Частота. В этой таблице, непосредственно против указанных возможных значений вашей с. в. находятся эмпирические вероятности (относительные частоты встречаемости) этих значений в сгенерированной выборке. Сравните эти эмпирические вероятности с требуемыми точными вероятностями, заданными для вашего варианта работы.
Гистограмму распределения можно построить по выделенной таблице карманов и частот с помощью мастера диаграмм. Можно, например, в мастере диаграмм на вкладке Нестандартные выбрать тип График | гистограмма.
4. В Ms Excel в меню Сервис/Анализ данных/Генерация случайных чи-
сел предоставляется возможность генерации выборок из следующего списка распределений: Равномерное, Нормальное, Бернулли, Биномиальное, Пуассона, Модельное и Дискретное. Рекомендуется поэкспериментировать с этими генераторами, так как они достаточно удобны в использовании. Их недостаток состоит лишь в том, что для обновления используемых выборок требуется повторно проходить меню.
Пуассоновская с. в. x является дискретной с. в. и может принимать значения 0, 1, ... , k, ... с вероятностями
pk = |
ak e−a |
, |
(2.9) |
|
k! |
||||
|
|
|
где a > 0 – параметр распределения, равный м. о. (и одновременно дисперсии) пуассоновской с. в. x:
M(x) = a; D(x) = a. |
(2.10) |
Алгоритм реализации пуассоновской с.в. на основе датчика БСВ приведен в [2].
Но здесь, для того чтобы сгенерировать 10000 значений пуассоновской с. в., используйте встроенный в Ms Excel генератор. Войдите в меню Сервис/Анализ данных/Генерация случайных чисел. В открывшемся диалоговом окне вве-
дите число переменных 1, число случайных чисел 10000 и выберите в разворачивающемся списке распределение Пуассона. Введите значение Лямбда (так здесь именуется параметр a), равное номеру вашего варианта,
задайте так называемое «случайное рассеивание» (на самом деле это начальное значение локального датчика БСВ) и выходной интервал (достаточно указать верхнюю клетку столбца). Нажмите ОК.
5. После того, как Excel сгенерирует выборку значений пуассоновской с. в., найдите эмпирическое м. о., эмпирическую дисперсию и постройте гистограмму распределения. Сравните полученные результаты (включая вероятности значений с. в.) с точными теоретическими показателями, определяемыми по формулам (2.9) и (2.10).
Варианты заданий
Варианты табличной дискретной с. в. заданы в табл. 2.2. Варианты пуассоновской с. в. определяются параметром a: он должен быть равен номеру варианта.
67
|
|
Варианты заданий к лабораторной работе 2 |
Таблица 2.2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
xj |
|
–73,4 |
–70,7 |
–51,5 |
–43,9 |
13,3 |
73,0 |
73,8 |
|
pj |
|
0,241 |
0,023 |
0,166 |
0,078 |
0,272 |
0,192 |
0,028 |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
xj |
|
–50,7 |
–21,8 |
–14,4 |
23,5 |
34,7 |
55,0 |
85,3 |
|
pj |
|
0,159 |
0,157 |
0,166 |
0,089 |
0,136 |
0,137 |
0,156 |
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
xj |
|
–93,3 |
–73,2 |
–70,2 |
–55,6 |
–20,3 |
38,8 |
49,8 |
|
pj |
|
0,099 |
0,061 |
0,160 |
0,159 |
0,171 |
0,176 |
0,174 |
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
xj |
|
–80,1 |
–77,2 |
–11,6 |
–11,3 |
36,2 |
42,4 |
79,1 |
|
pj |
|
0,079 |
0,122 |
0,116 |
0,205 |
0,164 |
0,158 |
0,156 |
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
xj |
|
–72,4 |
–68,5 |
–68,4 |
–43,5 |
–6,5 |
1,2 |
31,0 |
|
pj |
|
0,005 |
0,240 |
0,251 |
0,003 |
0,271 |
0,049 |
0,181 |
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
xj |
|
–21,4 |
4,6 |
17,1 |
20,1 |
37,1 |
39,1 |
93,4 |
|
pj |
|
0,137 |
0,098 |
0,065 |
0,240 |
0,258 |
0,108 |
0,094 |
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
xj |
|
–40,1 |
–12,9 |
–8,8 |
3,6 |
7,4 |
37,2 |
59,1 |
|
pj |
|
0,128 |
0,157 |
0,185 |
0,014 |
0,217 |
0,056 |
0,243 |
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
xj |
|
–96,9 |
–87,4 |
–55,7 |
–54,5 |
59,7 |
83,5 |
99,3 |
|
pj |
|
0,114 |
0,090 |
0,270 |
0,192 |
0,086 |
0,242 |
0,006 |
|
|
|
|
|
||||||||
9 |
xj |
|
–97,8 |
–80,7 |
–16,4 |
4,2 |
26,6 |
71,2 |
77,5 |
|
pj |
|
0,050 |
0,248 |
0,206 |
0,124 |
0,127 |
0,186 |
0,059 |
|
|
|
|
|
||||||||
10 |
xj |
|
–58,2 |
–57,7 |
–47,3 |
–30,2 |
–13,1 |
20,0 |
76,1 |
|
pj |
|
0,105 |
0,091 |
0,220 |
0,052 |
0,271 |
0,124 |
0,137 |
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
xj |
|
–82,3 |
4,3 |
13,1 |
28,2 |
35,1 |
55,3 |
92,1 |
|
pj |
|
0,285 |
0,152 |
0,070 |
0,056 |
0,288 |
0,126 |
0,023 |
|
|
|
|
|
||||||||
12 |
xj |
|
–88,0 |
–66,5 |
–26,2 |
–4,5 |
–0,3 |
65,0 |
65,8 |
|
pj |
|
0,186 |
0,246 |
0,139 |
0,157 |
0,207 |
0,015 |
0,050 |
|
|
|
|
|
||||||||
13 |
xj |
|
–87,8 |
–86,6 |
–15,7 |
4,1 |
22,1 |
71,4 |
98,8 |
|
pj |
|
0,044 |
0,017 |
0,140 |
0,162 |
0,153 |
0,246 |
0,238 |
|
|
|
|
|
||||||||
14 |
xj |
|
–48,6 |
–34,1 |
–31,9 |
–16,5 |
–15,8 |
21,2 |
38,6 |
|
pj |
|
0,195 |
0,089 |
0,020 |
0,139 |
0,198 |
0,244 |
0,115 |
|
|
|
|
|
||||||||
15 |
xj |
|
–73,3 |
13,9 |
47,8 |
55,0 |
65,7 |
95,5 |
96,1 |
|
pj |
|
0,162 |
0,201 |
0,136 |
0,221 |
0,110 |
0,070 |
0,100 |
|
|
|
|
|
||||||||
16 |
xj |
|
–81,0 |
–43,0 |
–41,2 |
–1,5 |
24,5 |
38,7 |
85,3 |
|
pj |
|
0,093 |
0,161 |
0,274 |
0,010 |
0,234 |
0,021 |
0,207 |
|
|
|
|
|
||||||||
17 |
xj |
|
–69,3 |
–49,5 |
25,0 |
37,6 |
72,3 |
73,2 |
99,2 |
|
pj |
|
0,193 |
0,085 |
0,003 |
0,057 |
0,037 |
0,265 |
0,360 |
|
|
|
|
|
||||||||
18 |
xj |
|
–57,2 |
–36,1 |
–16,4 |
–2,4 |
30,0 |
34,2 |
55,1 |
|
pj |
|
0,255 |
0,183 |
0,028 |
0,116 |
0,294 |
0,046 |
0,078 |
|
|
|
|
|
||||||||
19 |
xj |
|
–49,3 |
–2,6 |
12,7 |
26,6 |
36,8 |
44,6 |
96,2 |
|
pj |
|
0,159 |
0,078 |
0,218 |
0,186 |
0,093 |
0,108 |
0,158 |
|
|
|
|
|
||||||||
20 |
xj |
|
–88,5 |
–47,4 |
–45,9 |
–27,3 |
0,0 |
58,1 |
93,1 |
|
pj |
|
0,248 |
0,155 |
0,110 |
0,009 |
0,125 |
0,148 |
0,205 |
|
|
|
|
|
||||||||
68
Форма отчёта
Листы в файле Ms Excel следует оформлять с пояснениями и заголовками, минимально необходимыми для понимания смысла представляемой этими листами информации, для обсуждения работы и для проверки её правильности (см.
рис. 2.1).
Контрольные вопросы
1.Какое множество значений может принимать дискретная с. в.? Как задается распределение вероятностей дискретной с. в.?
2.Какое множество значений может принимать пуассоновская с. в.?
3.Как вычисляется м. о. и дисперсия дискретной с. в. по её распределению вероятностей?
4.Какие м. о. и дисперсию имеет пуассоновская с. в.? Выведите формулы (2.10) из распределения (2.9).
5.Какой вид имеет график распределения вероятностей пуассоновской с. в.?
6.При каком значении k вероятность pk в формуле (2.9) достигает макси-
мума?
7.Какой вид имеет ф. р. в. дискретной с. в.?
8.Поясните общий метод построения датчиков дискретных с. в. на основе
БСВ.
9.Как по распределению дискретной с. в. вычислить вероятность ее попадания в заданный интервал (a, b)?
10.Докажите, что в распределении Пуассона (2.9) сумма вероятностей pk всех возможных значений k = 0, 1, 2, ... равна единице.
Лабораторная работа 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Цель работы. Разработка датчика непрерывной с. в. и его испытания.
Содержание работы.
1.Разработка программного датчика заданной таблично непрерывной с. в.
xи генерация выборки из 10000 значений с. в. x.
2.Расчёт эмпирических оценок м. о. и дисперсии и их сравнение с точными теоретическими значениями.
3.Построение эмпирической ф. р. в. с. в. x и её сравнение с теоретической
ф. р. в.
4.Реализация стандартной нормальной с. в. методом Бокса – Мюллера.
5.Сравнение эмпирических характеристик нормальной с. в. с теоретичес-
кими.
Пояснения к выполнению работы
1. Ф. р. в. F(t) таблично заданной непрерывной с. в. x представляет собой кусочно-линейную функцию. В табл. 2.3 для каждого варианта заданий указаны координаты узловых точек Aj графика этой ф. р. в. в виде пар чисел tj; yj, где tj – абсцисса точки Aj, yj – ордината. На графике точки Aj соединяются отрезками прямых линий.
69
Для реализации с. в. x воспользуйтесь тем, что её можно рассматривать как смесь случайных величин, распределённых равномерно на интервалах (t1, t2),
(t2, t3), и т. д. При этом вероятность попадания x в интервал (tj, tj+1) равна F(tj+1) – F(tj) = yj+1 – yj, т. е. определяется из табл. 2.3 как разность ординат точек Aj+1
и Aj. Это позволяет использовать для реализации x простой алгоритм, получаемый путём небольшой модификации алгоритма реализации дискретной с. в., применяемого в предыдущей работе. Модификация сводится к тому, чтобы, выбрасывая БСВ на ось ординат и определяя вероятностный интервал (yj, yj+1), в который попадает БСВ, разыгрывать (в качестве значения x) на соответствующем интервале (tj, tj+1) равномерную с. в.
Пусть, например, требуется реализовать непрерывную с. в. x, которая имеет кусочно-линейную ф. р. в. F(t), заданную следующими узловыми точками:
A1 = (–1; 0), A2 = (1; 0,2), A3 = (3; 0,6), A4 = (10; 1). Если ординаты перечислен-
ных точек откладывать на числовой оси (0, y) вверх от нуля, то получим точки y1 = 0; y2 = 0,2; y3 = 0,6 и y4 = 1. Абсциссами точек Aj являются точки t1 = –1; t2 = 1; t3 = 3 и t4 = 10. После выбрасывания БСВ и определения отрезка (yj, yj+1), в который она попала, можно просто разыграть x как с. в., равномерно распределённую на интервале (tj, tj+1), т. е. вычислить её по формуле
x = tj + (tj+ 1– tj)·z, |
(2.11) |
где z – новая независимая реализация БСВ.
Итак, запишите на чистом листе Ms Excel в ячейку A1 формулу =СЛЧИС(). В ячейки B1, C1, D1 введите следующие три формулы:
=(A1<0,2)*(2*СЛЧИС()-1) =(A1>0,2)*(A1<0,6)*(1+2*СЛЧИС()) =(A1>0,6)*(A1<1)*(3+7*СЛЧИС())
Вэтих формулах неравенства в скобках принимают арифметические значения 1 или 0 в зависимости от того, выполняются они или нет. Таким образом,
водной из трёх ячеек B1, C1, D1 реализуется значение с. в. x, в двух других будет 0.
Вячейку E1 для фиксации разыгранной с. в. x введите формулу =СУММ(B1:D1). Теперь для генерации выборки скопируйте диапазон A1:E1 на 1000 строк вниз. Скройте столбцы A-D. Оставшийся видимым столбец E содержит только выборку значений с. в. x. По ключу F9 эти значения обновляются.
На основе рассмотренного примера, путём корректировки использованных
внём данных, нетрудно построить датчик с. в., указанной для вашего конкретного варианта заданий в табл. 2.3. Постройте требуемый датчик и сгенерируйте выборку из 10000 значений с. в.
2. Эмпирическое м. о. и дисперсия определяются по выборке. Точные значения м. о. и дисперсии непрерывной с. в. определяются следующими формулами:
M (x) = |
∞∫t f (t) dt ; |
(2.12) |
|
−∞ |
|
∞ |
|
|
D(x) = ∫t 2 f (t) dt − M 2 (x) . |
(2.13) |
|
−∞
70