Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия

Лабораторная работа 6 РАСЧЁТ НАДЁЖНОСТИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Цель работы. Расчет надёжности методом статистического моделирования.

Содержание работы.

Расчёт надёжности системы аналитическим методом и методом статистического моделирования.

Пояснения к выполнению работы

Надёжность системы, представленной в виде надёжностного графа (рис. 2.12), следует рассчитать аналитическим методом и методом статистического моделирования. Необходимые для этого рекомендации изложены в посо-

биях [2] и [3].

Непосредственная статистическая оценка ˆ вероятности Q отказа системы

Q

определяется при общем числе опытов N по числу Nотк тех опытов, в которых произошел отказ системы, следующим образом:

Неравенство (2.32) представляет собой доверительный интервал и выполняется с вероятностью 0,997, весьма близкой к единице.

Каждый из N опытов можно реализовать в одной строке таблицы Ms Excel. Состояния элементов разыгрываются как дискретные с. в., которые принимают одно из двух значений: 0 (элемент работоспособен) и 1 (элемент отказал). Состояние системы в целом (0 – система работает, 1 – система отказала) можно вычислять как значение логического выражения, должным образом сочетающего минимальные сечения надёжностного графа системы [3].

Варианты заданий

В табл. 2.5 приведены 20 вариантов рассчитываемых надёжностных схем системы. Вероятности pi отказа элементов для каждого варианта системы приведены в табл. 2.6. Предполагается, что на каждой схеме в табл. 2.5 нумерация элементов i = 1, …, 7 ведётся «построчно» (через центры элементов), слева направо и сверху вниз.

Таблица 2.5

Варианты надёжностных схем

81

Окончание табл. 2.5

82

Форма отчёта

На рис. 2.12 приводится пример оформления листа Ms Excel с расчётом простой мостиковой схемы, состоящей из пяти элементов. Наряду со статисти-

ческой оценкой ˆ вероятности Q отказа системы здесь приводится точное зна-

Q

чение Q, рассчитанное по следующей формуле из конспекта лекций [3, с. 32]:

В вашем задании эту формулу можно использовать, редуцируя заданную схему к мостиковой схеме путём замены соответствующих параллельных и последовательных подграфов эквивалентными им по надёжности простыми элементами. Так, в варианте 1 (см. табл. 2.5) параллельно соединённые 1-й и 3-й элементы можно заменить одним элементом с вероятностью отказа p' = p1 p3 и точно так же параллельно соединённые 5-й и 7-й элементы заменить элементом с вероятностью отказа p" = p5 p7. Поскольку при этом исходная схема превращается в пятиэлементную мостиковую схему, то для дальнейшего расчёта используйте формулу (2.33), учитывая, что нумерация аргументов в ней соответствует рис. 2.12.

Некоторые особенности возникают при расчёте варианта задания 20. Его рассчитать проще, поскольку мостиковая схема входит в него в готовом, явном виде.

83

Пояснения к выполнению работы

1. В данной работе необходимо рассчитать надёжность той же системы, что и в предыдущей работе, но при малых (и одинаковых) вероятностях отказа элементов: pk = p = 2·10–4 (k = 1, …, 7). Поскольку система отказывает только при одновременном отказе минимум двух элементов, то вероятность Q отказа

тистического эксперимента. В соответствии с методом расслоения [2, 4] рас-

вестны: Р{xk = 1} = 2·10–4. Выходная с. в. (состояние системы) y {0, 1} является определённой функцией от с. в. Х: y = y(Х). Искомая вероятность отказа системы Q = Р{y = 1} = M(y). Для входной с. в. Х пространство возможных исходов Ω состоит из 27 = 128 значений двоичного вектора Х:

Чтобы выполнить эффективное расслоение эксперимента, слой Ωj Ω определим как подмножество таких значений с. в. Х, которые содержат ровно j единиц. Определяемый таким образом слой Ωj содержит те исходы, в которых отказывают ровно j элементов системы (j = 0, 1, ..., 7). Искомое м. о. М(у) выходной с. в. у можно выразить через условные м. о. следующим образом:

где Мj = М(y|X Ωj) – условное м. о. величины у (т. е. условная вероятность отказа системы) в слое Ωj ; wj – вероятность слоя Ωj (т. е. вероятность того, что в системе откажут ровно j элементов).

Формула (2.36) определяет общую схему разделения исходного статистического эксперимента на эксперименты в отдельных слоях Ωj. Рассматривая слагаемые в правой части формулы (2.36) по отдельности, её можно существенно упростить.

Из надёжностных графов системы (табл. 2.5) видно, что система может отказать только тогда, когда откажут два или более элемента. Поэтому в формуле (2.36) заведомо М0 = 0 (вероятность отказа системы при условии, что отказало 0 элементов, равна нулю) и М1 = 0 (вероятность отказа системы при условии, что отказал ровно 1 элемент, тоже равна нулю). С учётом этого соотношение (2.36) принимает вид

85