Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия
Вычислим для выражения (2.37) вероятности с w2 по w4:
w2 |
= Р{Ω2} = C72 p2(1–p)5 |
= 21.0,00022.0,99985 = 8,3916.10–7; |
w3 |
= Р{Ω3} = C37 p3(1–p)4 |
= 35.0,00023.0,99984 = 2,7977.10–10; (2.38) |
w4 |
= Р{Ω4} = C74 p4(1–p)3 |
= 35.0,00024.0,99983 = 5,5966.10–14. |
Вероятности wj быстро убывают с номером слоя j, поэтому в правой части соотношения (2.37) можно, видимо, всеми слагаемыми, кроме двух-трёх первых, пренебречь. Чтобы уточнить это предположение, найдём ещё (для первого слагаемого) грубую оценку условной вероятности M2.
Учитывая, что в системе имеются два критических элемента, при одновременном отказе которых система обязательно откажет, заключаем: вероятность
M2 (условная) отказа системы не может быть меньше вероятности 1/C72 ≈ 0,05
(условной) того, что откажет именно эта пара критических элементов. Таким образом:
M2 ≥ 0,05; w2M2 ≥ 0,05w2 ≈ 4,2.10-8. (2.39)
Отсюда видно, что слагаемое w2M2 в выражении (2.37) превосходит величину слагаемого w4M4 (даже если M4 = 1) примерно в миллион раз. Очевидно также, что слагаемые w5M5, ..., w7M7 еще менее значимы и, следовательно, выражение (2.37) можно переписать в виде практически точного равенства:
M(y) = w2M2 + w3M3, |
(2.40) |
в котором, кстати, второе слагаемое тоже, как минимум, в сто раз меньше первого.
Заменяя в равенстве (2.40) математические ожидания их статистическими
ˆ |
и |
ˆ |
, получаем следующую формулу для расчёта вероятности от- |
|||
оценкамиM 2 |
M 3 |
|||||
каза системы через её условные вероятности отказа в слоях Ω2 и Ω3: |
|
|||||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(2.41) |
|
|
|
Q = |
w2M 2 |
+ w3M 3 . |
|
Это основная формула расслоенного эксперимента для нашей системы.
Из проведённого расчёта можно сделать общий вывод, что чем надёжнее элементы системы, тем быстрее убывают вероятности слоёв в формулах (2.38), тем меньше остаётся слоёв в выражении (2.37) и, следовательно, тем меньше их остаётся в формуле расслоенного эксперимента (2.41). Тем самым высокая надёжность системы – причина, усложняющая применение непосредственного статистического моделирования, – становится фактором, повышающим эффективность метода расслоения.
В формуле (2.41) условная вероятность ˆ для слоя Ω определяется в от-
M 2 2
дельном статистическом эксперименте, в котором разыгрываются только такие исходы X, которые соответствуют отказам ровно двух каких-нибудь элементов. Поскольку вероятности отказа у всех элементов одинаковы, то в каждом из опытов просто случайно выбирается любая из 35 равновероятных пар элементов. Общее число опытов в слое Ω2 обозначим через N2.
86
ˆ |
|
|
|
Аналогично условная вероятность M 3 для слоя Ω3 определяется в экспе- |
|||
рименте, который включает N2 опытов и в котором разыгрываются исходы X, |
|||
соответствующие отказам ровно трёх каких-нибудь элементов. |
ˆ |
|
|
2. Таким образом, в программе (в таблице Excel) для расчета |
на основе |
||
Q |
|||
расслоения (2.41) следует предусмотреть выполнение статистических экспери-
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
, |
|
ментов в двух слоях: в слое Ω2 будем рассчитывать оценку условного м. о. M 2 |
|||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в слое Ω3 – оценку M 3 . По определению: |
|
|
Nотк3 |
|
|
|
|||
ˆ |
Nотк2 |
|
ˆ |
|
|
|
|
||
M 2 = |
|
; |
M3 |
= |
|
, |
(2.42) |
||
N2 |
N3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где N2 – общее число опытов в слое Ω2; N3 – число опытов в слое Ω3; Nотк2 – число отказов в слое Ω2; Nотк3 – число отказов в слое Ω3.
Числа N2 и N3 рекомендуется определять по принципу рационального распределения общего числа опытов N по слоям:
N2 |
= |
|
Nw2 |
; |
(2.43) |
|
|
|
|||||
|
|
w2 + w3 |
|
|||
N3 |
= |
|
Nw3 |
|
= N − N2 . |
(2.44) |
|
|
|
||||
|
|
|
w2 + w3 |
|
||
Примем общее число опытов во всех слоях N равным 10000. Тогда по формулам (2.43) и (2.44) с учётом (2.38) определяем, что N2 = 9997, N3 = 3. Известно [1], что распределение числа опытов по слоям по принципу (2.43) и (2.44) гарантирует отсутствие потери точности: средняя квадратичная погрешность оценки безусловного математического ожидания (при любом способе расслоения) не может получиться большей, чем при непосредственном статистическом эксперименте с тем же общим числом опытов N. Для удобства немного скорректируем найденное распределение числа опытов и примем N2 = 10000, N3 = 10. Точность результатов от этого не уменьшится, а трудоёмкость практически не возрастёт.
На первом листе Ms Excel, предназначенном для опытов в слое Ω2, прове-
дём N2 = 10000 опытов и рассчитаем |
ˆ |
по формуле (2.42). На этом листе в ка- |
M 2 |
ждом опыте будем случайно выбирать два номера отказавших элементов k1 и k2, а состояние системы у определять так же, как в предыдущей работе. Таким образом, этот лист будет отличаться от предыдущего практически только способом, которым разыгрываются состояния элементов.
Поскольку элементы системы равнонадёжны, то номера k1 и k2 отказавших элементов можно генерировать просто как целые равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 1 до 7. Такого рода целое случайное число k
легко генерируется преобразованием БСВ z вида |
|
k = 7 z +1, |
(2.45) |
где прямые скобки обозначают взятие целой части. Однако при генерации двух случайных номеров k1 и k2 по формулам k1 = 7 z1 +1 и k2 = 7 z2 +1 могут получиться одинаковые значения k1 и k2, и этот случай нужно исключить.
87
Исключение равенства k1 = k2 легко реализуется в программах с помощью цикла, включающего проверку этого равенства и при необходимости возврат к генерации k2. Но в Ms Excel реализация циклов с неопределённым числом повторений затруднена, поэтому следует изобрести какой-то другой способ. Один из путей – это простое исключение из расчётов тех строк с опытами, в которых получаются одинаковые номера k1 и k2, по аналогии с тем, как исключается часть опытов в лабораторной работе 4 в методе режекции.
Но мы воспользуемся другим, менее очевидным и дающим сразу два разных номера, «круговым» способом. Он состоит в том, чтобы разыграть k1 обычным образом, а k2 выбрать из оставшихся «следующих по кругу» номеров. Такой выбор номера k2 реализуется путём прибавления к номеру k1 целого случайного числа из интервала от 0 до (7 – 2) = 5; далее результат операции сложения должен быть представлен в виде остатка от его деления на 7 и увеличен на 1. Этот способ генерации двух номеров выражается следующими формулами:
k1 = 7 z1 +1; |
(2.46) |
k2 = (k1 + 6 z2 )mod7 +1. |
(2.47) |
На листе, изображённом на рис. 36, в окне ввода для выделенной ячейки B16 показана формула, вычисляющая методом (2.47) значение k2 (только не для 7, а для 5 элементов в системе). Далее на листе вычисляются состояния элементов xi через два выпавших номера (это делается с помощью логической функции ИЛИ). Через состояния элементов (как и в лабораторной работе 6) определяется состояние y всей системы.
На втором листе таблицы для слоя Ω3 аналогично проведите N3 = 10 опы-
тов и вычислите ˆ . В этой части программы в каждом из 10 опытов генери-
M3
руются три разных номера отказавших элементов. Чтобы сделать это, можно воспользоваться методом (2.47) дважды, например, для определения k2 и k3 с учётом разыгранного значения k1. Строки с опытами, в которых совпадают k2 и k3, можно удалить вручную.
Итоговая оценка надёжности ˆ вычисляется по формуле (2.41). Как видно
Q
из рис. 2.13, опыты, проведенные в слое Ω3, практически не отразились на итоговой оценке. При пересчётах листа по ключу F9 наглядно видно, что слагаемое
ˆ заметно уступает величине статистических ошибок расчёта, поэтому w3M 3
опыты в слое Ω3 можно было для рассмотренной пятиэлементной системы не проводить.
3. Точное значение Q рассчитайте по формуле, выведенной для вашей схемы в предыдущей работе, задавая все pk равными p = 2·10–4. Определите абсо-
лютную погрешность ε оценки ˆ :
Q
ˆ |
|
|
|
|
|
ε = | Q – Q|. |
|
ˆ |
|
|
|
–08 |
, |
8,09·10 |
–08 |
, откуда |
|
В примере на рис. 2.13 имеем Q = 8,0016·10 |
Q = |
|
ε ≈ 8,8·10–10.
88
Рис. 2.13. Пример к лабораторной работе 7
Разумеется, на практике метод расслоения применяется при неизвестном точном значении Q. При этом упрощённую формулу (2.32) для определения «размаха» относительной погрешности здесь также применять некорректно, поскольку она выведена в предположении малой вероятности отказа системы,
которое в слоях Ω и Ω не выполняется. Поэтому контроль точности оценки ˆ
2 3 Q
рекомендуется осуществлять, используя обычные доверительные интервалы,
ˆ |
|
ˆ |
основанные на статистической оценке DQ |
дисперсии D(Q ). |
|
Расчётную формулу для вычисления |
ˆ |
можно получить следующим об- |
DQ |
||
разом. Определяя дисперсию левой и правой частей равенства (2.41), находим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
2 |
ˆ |
|
|
|
2 |
|
ˆ |
|
|
(2.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(Q)= w2 D(M2 |
)+ w3 |
D(M3 ). |
|
|
|||||||||||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
есть оценки м. о. двоичной с. в., то |
|
|
|
||||||||||||||||
Поскольку M 2 |
и M3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
(1− M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
ˆ |
|
|
M3 |
(1− M3 |
) |
. |
(2.49) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
D(M |
|
) ≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
D(M3 ) |
≈ |
|
|
|
N3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Заменяя дисперсии в равенстве (2.44) этими их оценками, получаем: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w2 |
|
|
|
|
|
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
2 |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
3 |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
(2.50) |
|
|
|
|
|
|
DQ |
= |
|
M |
2 (1− M |
2 ) + |
|
N3 |
M3( |
1− M3 |
), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
ˆ |
ˆ |
известны из формул (2.42). Согласно «правилу трёх сигм» абсо- |
|||||||||||||||||||||
M 2 |
и M3 |
|||||||||||||||||||||||
лютная погрешность оценки ˆ с вероятностью 0,997 не превосходит трёх квад-
Q
ратных корней из дисперсии (2.50). Для рассматриваемого случая (рис. 2.13) второе слагаемое в формуле (2.50) можно отбросить ввиду его относительной малости, и «трёхсигмовая» граница для абсолютной погрешности получается
89
равной первому слагаемому, составляющему 3w2·0,4·10–2, а для относительной погрешности соответственно равной 3w2·0,4·10–2/w2·M2 = 6·10–2.
Заметим, что такая относительно высокая точность расчёта надёжности достигается нами в методе расслоения, по существу, за счёт того, что мы не проводим опыты в малоинформативных слоях исходов. В слоях Ω0 и Ω1 опыты не проводятся потому, что их результаты известны заведомо: вероятность отказа системы в этих слоях равна нулю. Между тем, если проводить непосредственный статистический эксперимент (без расслоения), то подавляющее число опытов выпадает на эти два заведомо неинформативных множества исходов. В среднем из десяти миллионов опытов лишь четыре содержали бы полезную информацию.
Варианты заданий
Необходимо рассчитать надёжность того же варианта системы, что и в предыдущей работе, но при вероятностях отказа элементов pk = p = 2·10–4
(k = 1, …, 7).
Форма отчёта
Отчёт должен соответствовать общим (установленным ранее) требованиям. Пример отчёта приводится выше на рис. 2.13.
Контрольные вопросы
1.Как определяются слои исходов в данной работе?
2.Почему в соотношении (2.36) величины М0 и М1 равны нулю?
3.На каком основании в соотношении (2.36) могут быть отброшены слагае-
мые с w4M4 по w7M7?
4.Выведите общую формулу для вычисления вероятностей слоев wj в случае, когда система содержит n равнонадёжных элементов.
5.Почему метод расслоения позволяет существенно повысить точность расчёта надёжности по сравнению с непосредственным статистическим моделированием?
6.Обоснуйте формулы (2.48) и (2.49).
7.Сколько опытов потребовалось бы для расчёта вашего варианта системы
спомощью непосредственного статистического моделирования, чтобы достичь той же точности, которая получилась в методе расслоения?
Библиографический список к части 2
1.Боровков, А. А. Математическая статистика : учебник / А. А. Боров-
ков. – М. : Наука, ГРФМЛ, 1984. – 472 с.
2.Задорожный, В. Н. Статистическое моделирование : учеб. пособие
/В. Н. Задорожный. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 1996. – 92 с.
3.Задорожный, В. Н. Моделирование систем : конспект лекций / В. Н. Задорожный. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2006. – 56 с.
4.Кутузов, О. И. Аналитико-статистический метод для расчёта высоконадёжных систем связи / О. И. Кутузов, В. Н. Задорожный // Техника средств связи. Сер. Техника проводной связи. – Л., 1990. – Вып. 1. – С. 121–130.
5.Макарова, Н. В. Статистика в Excel : учеб. пособие / Н. В. Макарова, В. Я. Трофимец. – М. : Финансы и статистика, 2003. – 368 с.
90