Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия

Достоинства верхней границы L+(ρ) Кингмана – Кёллерстрёма (3.9) в том,

что:

–неравенство (3.9) имеет простой вид и выполняется в любой системе

G|G|K;

–при большой нагрузке ρ → 1 функция L+(ρ) является хорошим приближением искомой характеристики L(ρ).

Расчёт приближённых характеристик (3.8) и (3.9) для системы R|R|1 при-

веден на рис. 3.3. Кривая с маркерами на рисунке представляет характеристику L+(ρ). Действительная характеристика L(ρ) системы R|R|1 лежит целиком под кривой L+(ρ): она показана жирной линией. Кривая наиболее быстро растущей функции – это характеристика ρ2/(1 – ρ) очереди в экспоненциальной СМО. Действительная характеристика L(ρ) получена путём моделирования системы

R|R|1 на GPSS World.

Рис. 3.3. Результаты приближённого расчёта и моделирования системы R|R|1

3. Разработка и отладка имитационной модели СМО на языке GPSS World выполняется в соответствии с рекомендациями, излагаемыми в курсе лекций и в учебных пособиях [2, 7, 8, 9]. Модель системы R|R|1 на языке GPSS (при ρ = 0,5) имеет следующий вид:

96

Здесь время обслуживания заявки задано в блоке ADVANCE как с. в., равномерно распределённая на интервале 5 ± 5 (т. е. от 0 до 10) ед. времени. Поэтому среднее время обслуживания составляет 5 ед. времени. Интервал поступления заявок задан в блоке GENERATE так же, как равномерно распределённая с. в., но со средним значением 10. Следовательно, коэффициент загрузки ρ = x /τ = 5/10 = 0,5. На рис. 3.4 приведен результат прогона модели по команде START 1. Зависимость L(ρ), показанная на рис. 3.3, получена в экспериментах с этой моделью при разных ρ. Для этого менялись параметры блока ADVANCE.

Рис. 3.4. Файл отчёта (REPORT), выданного GPSS World после прогона имитационной модели системы R|R|1 при ρ = 0,5

4. Выполняя имитационные эксперименты и анализ их результатов, необходимо обеспечить получение статистически достоверных данных о свойствах моделируемой СМО, проинтерпретировать смысл этих данных (извлечь новые знания о системе), а также сделать общие выводы об особенностях имитационного моделирования как инструмента исследования сложных систем.

Для того чтобы данные имитационного эксперимента имели приемлемую статистическую погрешность, нужно выполнить достаточно длинный прогон модели. На рис. 3.4 показан отчёт об эксперименте, в котором система наблюдалась в течение 5 млн ед. времени. За это время через систему прошло около

97

500 тысяч заявок. Такое время моделирования для целей лабораторной работы несколько избыточно; достаточно моделировать СМО в течение более короткого времени, обеспечивающего прохождение около 100 тысяч заявок.

Кроме того, на рис. 3.3 график характеристики L(ρ) построен по 20 равноотстоящим значениям ρ, что потребовало проведения 20 прогонов модели при разных значениях среднего времени обслуживания в блоке ADVANCE. В лабораторной работе достаточно промоделировать СМО при 10 значениях ρ, следующих с шагом 0,1.

Результаты, приведенные на рис. 3.3, позволяют сделать вывод о том, что система M|M|1 представляет собой плохую аппроксимацию системы R|R|1. Принятие предположения о возможности замены равномерных распределений экспоненциальными в данном случае привело бы к многократным ошибкам при расчёте основной характеристики L(ρ) системы.

Причиной возникновения очередей в СМО является несогласованность поступления заявок. Если бы все заявки поступали через постоянные интервалы времени и обслуживались также за постоянное детерминированное время, то при любом ρ < 1 очередей в системе не возникало бы. И поскольку мерой разброса значений для интервалов поступления заявок τ и интервалов их обслуживания x являются соответствующие коэффициенты вариации (или квадратичные коэффициенты вариации) этих с. в., то чем эти коэффициенты вариации больше, тем большего значения средней длины очереди L(ρ) следует ожидать при фиксированной нагрузке ρ.

Поскольку в системе R|R|1 оба квадратичных коэффициента вариации Cτ2

и Cx2 составляют лишь 1/3, в то время как в системе M|M|1 они равны 1, то и

характеристика L(ρ) для системы R|R|1 оказалась существенно меньшей, чем для M|M|1.

При использовании аналитических методов исследования СМО отказ от экспоненциальных распределений приводит к колоссальным математическим трудностям, которые чаще всего не удаётся преодолеть. Поэтому использование упрощающих предположений о «пуассоновости потоков», «экспоненциальности распределений», «отсутствии последействия» и т. п. часто связано лишь с желанием получить хоть какие-то результаты. При имитационном моделировании систем, напротив (как видно из примеров моделирования, выполняемых в данной лабораторной работе), замена одних распределений другими представляет собой чисто технический вопрос и решается просто правильным использованием генераторов случайных чисел.

Действительная характеристика L(ρ), найденная с помощью имитационного моделирования, определяется с точностью до статистических погрешностей (в нашем примере они составляют около одного – двух процентов), которые контролируются посредством повтора или удлинения эксперимента и могут быть сделаны, в принципе, сколь угодно малыми. Имея характеристику L(ρ), остальные основные показатели СМО можно рассчитать при любом заданном ρ по простым формулам (3.5–3.7).

98

Примечание 2 . Для ускорения набора модели в GPSS World рекомендуется воспользоваться меню Edit/Insert GPSS Blocks… .

Примечание 3 . После изменения какого-либо параметра в GPSSмодели её нужно ретранслировать (команда Retranslate) и только потом выпол-

нять START.

Варианты заданий

Варианты заданий приводятся в табл. 3.1. Рекомендации по формированию с. в. с указанными в табл. 3.1 распределениями приводятся в прил. 1.

Таблица 3.1

Варианты заданий к лабораторной работе 1

Форма отчёта

Для защиты лабораторной работы необходимо подготовить отчёт, оформить его и передать на проверку в установленном порядке. Файл, подготовленный в Ms Excel (см. рис. 3.3), и GPSS-модель вашего варианта СМО рекомендуется хранить в личном архиве до завершения аттестации по дисциплине «Моделирование систем».

Контрольные вопросы

1.Какими основными факторами определяется величина средней очереди

всистеме массового обслуживания?

2. Выведите выражения для плотности распределения вероятностей (п. р. в.) из указанных в (3.1) выражений для ф. р. в. Используя выражения для п. р. в., выведите формулы для м. о., дисперсии и коэффициента вариации.

3.Какой физический смысл имеет параметр «интенсивность» экспоненциального распределения вероятностей?

4.Перечислите основные показатели эффективности функционирования

СМО.

5.Как интерпретируется значение коэффициента загрузки ρ? Какие значения может принимать ρ в стационарном режиме?

6.Запишите выражение для средней длины очереди в системе M|M|1.

7.Запишите в общем виде формулу Литтла и обоснуйте её.

8.Поясните систему обозначений Кендалла – Башарина.

99

9.Укажите значения основных характеристик (границы диапазона возможных значений, дисперсию и коэффициент вариации) равномерного распределения вероятностей типа R при заданном м. о. x . Обоснуйте ответ.

10.Укажите основные характеристики равномерного RT-распределения и обоснуйте ответ.

11.Перечислите основные характеристики распределения Эрланга.

12.Перечислите основные характеристики гиперэкспоненциального распределения вероятностей второго порядка.

13.Как изменяются основные характеристики случайной величины при её масштабном преобразовании (при умножении на постоянный коэффициент)?

14.Поясните, как по вашей GPSS-модели перемещаются транзакты, как формируются статистические показатели о модели, как и когда завершается статистический эксперимент.

15.Покажите ваш файл GPSS-отчёта (REPORT) и поясните данные, содержащиеся в нём.

16.С чем обычно связано введение упрощающих допущений при аналитическом моделировании СМО?

17.Как при среднем интервале поступления заявок, равном 10, вы определяете среднее время задержки транзакта в блоке ADVANCE, чтобы система

имела требуемое значение коэффициента загрузки ρ?

18.Как вы изменяете среднее время задержки транзакта в блоке ADVANCE, не меняя при этом заданного вида закона распределения вероятностей?

19.Поясните пример, приведенный в примечании 1 данной лабораторной

работы.

20.Приведите оценку Кингмана – Кёллерстрёма и поясните её смысл.

Лабораторная работа 2 МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СМО

Цель работы. Имитационное моделирование многоканальной системы массового обслуживания.

Содержание работы:

1.Изучение объекта моделирования (многоканальной СМО).

2.Предварительное аналитическое исследование СМО с применением Ms

Excel.

3.Разработка и отладка имитационной модели СМО на GPSS World.

4.Выполнение имитационных экспериментов и анализ результатов.

Краткая теория и методические указания

1. Многоканальная СМО отличается от одноканальной СМО следующим. Число каналов в ней более одного. Приходящая заявка становится в очередь, если все каналы заняты. В противном случае заявка занимает свободный канал.

Условное изображение многоканальной СМО приведено на рис. 3.5.

100