Материал: Имитационное и статистическое моделирование — копия

– переход заявки с выхода i-й СМО на вход j-й СМО является независимым случайным событием, имеющим вероятность pi j (возможно, нулевую), известную для всех i, j = 1, ..., n. При этом выполняется условие pi 1 + ... + pi n = 1 – pi 0, где pi 0 – вероятность ухода заявки, покидающей i-ю СМО, во внешнюю среду сети.

Разомкнутая экспоненциальная СеМО задается следующими параметрами:

1)числом n СМО;

2)числом К1, ..., Кn каналов в СМО с номерами 1, ..., n;

3)матрицей P = || pi j || вероятностей передач, i = 1, ..., n; j = 0, ..., n;

4)интенсивностями Λ1, ..., Λn входных потоков заявок, поступающих из внешней среды в СМО с номерами 1, ..., n соответственно;

5)средними значениями x1, ..., xn времени обслуживания заявок в СМО

сномерами 1, ..., n.

Например, СеМО, изображённая на рис. 3.8, имеет следующие параметры:

1) число СМО в сети n = 3;

2) число каналов в СМО с номерами 1–3 соответственно К1 = 1, К2 = 1,

К3 = 2; 3) матрица переходных вероятностей

4)интенсивности входных потоков заявок из внешней среды СеМО Λ1 = 1,

Λ2 = 0, Λ3 = 0;

5)средние значения времени обслуживания x1 = 0,07, x2 = 0,06, x3 = 0,35.

В виде СеМО можно моделировать, например, информационновычислительные системы (ИВС). Тогда входные потоки заявок СеМО будут изображать запросы, поступающие на

106

экспоненциальные. Тем не менее доказано (теорема Джексона), что СМО ведут себя в ней во многих отношениях как экспоненциальные. В частности, характеристики отдельных СМО могут быть рассчитаны по формулам (3.2–3.15). Отсюда следует, что для их расчёта в экспоненциальной СеМО достаточно найти интенсивности λ1, ..., λn входных потоков отдельных СМО.

Расчёт входных интенсивностей и характеристик отдельных СМО

Нахождение интенсивностей λ1, ..., λn осуществляется на основе уравнений баланса потоков в сети. При составлении уравнений баланса учитываются простые свойства слияния и разветвления потоков.

Если происходит слияние нескольких потоков заявок, то образуется один общий поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей всех сливающихся потоков.

Если поток разветвляется на несколько направлений, то образуются потоки, сумма интенсивностей которых равна интенсивности исходного потока. При этом если разветвление потока происходит путём случайного выбора заявками одного из направлений, то интенсивность потока на каждом направлении равна произведению интенсивности исходного потока и вероятности выбора данного направления.

В стационарной СеМО среднее число заявок в любой её фиксированной части не меняется во времени (свойство стационарности). Отсюда следует, что суммарная интенсивность входящих в эту часть потоков равна суммарной интенсивности выходящих потоков. Запись этого закона в математической форме представляет собой уравнение баланса потоков.

Выделяя в СеМО различные части и составляя для каждой части уравнение баланса, можно получить систему уравнений, связывающую искомые интенсивности λ1, ..., λn с известными интенсивностями Λ1, ..., Λn. Обычно при этом в качестве отдельных частей СеМО выделяют отдельные СМО. В этом случае для n неизвестных получается n уравнений. Можно добавить к ним уравнение баланса, составленное для входных и выходных потоков всей СеМО. Тогда получится n + 1 уравнение, и одно (любое) из них можно либо исключить, как линейно связанное с остальными n уравнениями (выводимое из них), либо исполь-

107

СМО одинаковы. Применяя свойства слияния и разветвления потоков к входному и выходному потоку первой СМО (она обведена штриховой линией), запишем следующую систему уравнений:

Второе в (3.16) уравнение баланса учитывает, что выходная интенсивность всей СеМО равна входной интенсивности Λ1.

При заданных параметрах Λ1 = 1, p10 = 0,1, p12 = 0,5 и p13 = 0,4 из последних трёх уравнений в (3.16) находим, что λ1 = 10, λ2 = 5, λ3 = 4. Теперь первое уравнение в (3.16) можно использовать для проверки найденных решений. Подставляя в него полученные значения интенсивностей, получаем тождество 10 = 1 + 5 + 4. Это подтверждает правильность произведённых нами вычислений.

Расчёт входных интенсивностей следует завершать проверкой выполнения условий стационарности СеМО. Сеть стационарна, если стационарны все её СМО, т. е. если

Проверить эти условия после того, как определены все λj , не представляет труда. Например, для СеМО (рис. 3.8) находим:

ρ1 = 10·0,07 = 0,7 ≤ 1,

ρ2 = 5·0,06 = 0,3 ≤ 1,

ρ3 = 4·0,35/2 = 0,7 ≤ 1,

т. е. условия стационарности (3.17) выполняются.

Если бы условия стационарности СеМО не выполнялись, то это означало бы, что расчёт входных интенсивностей СМО λj выполнен неверно, так как уравнения баланса потоков справедливы только для стационарной СеМО. В этом случае следует использовать методы расчёта нестационарных режимов. Заметим, что во многих случаях установление факта нестационарности СеМО приводит к завершению расчётов, так как свидетельствует о непригодности моделируемой системы (нехватке ресурсов для выполнения требуемых работ). В таких случаях принимают решение заменить в реальной системе те СМО, у которых коэффициент загрузки превышает единицу, более мощными системами.

Примечание 1 . Составление и решение уравнений баланса СеМО не связано с предположениями об экспоненциальности распределения интервалов поступления и интервалов обслуживания заявок. Поэтому продемонстрированный метод расчёта интенсивностей λj и коэффициентов загрузки ρj отдельных СМО можно использовать и для предварительного анализа вашего варианта СеМО. Определяемые таким образом показатели λj и ρj являются точными.

108

Для стационарной экспоненциальной СеМО с известными интенсивностями λj расчёт локальных характеристик входящих в неё систем сводится к применению формул (3.2)–(3.15). Например, для рассматриваемой нами СеМО (рис. 3.8), применяя эти расчётные формулы, находим:

Все приведенные решения для экспоненциальной СеМО являются точными. На рис. 3.10 приводится пример оформления листа Ms Excel с расчётом характеристик экспоненциальных СМО сети по их найденным выше коэффициентам загрузки. Пустые столбцы таблицы подготовлены для последующего внесения результатов имитационного моделирования исследуемой СеМО (как на рис. 3.14).

Рис. 3.10. Пример оформления расчёта характеристик экспоненциальных СМО

3. Разработка и отладка имитационной модели СеМО на языке GPSS World здесь не составляет особого труда, поскольку моделирующая программа просто составляется из нескольких частей, которые соответствуют отдельным СМО и соединяются между собой блоками TRANSFER, предназначенными для передачи транзактов.

Вкачестве примера приведём для рассматриваемой сети (см. рис. 3.8) моделирующую программу, изображённую на рис. 3.11. Программа состоит из однотипных частей, соответствующих СМО с номерами 1–3. Третья СМО моделируется памятью STORAGE с ёмкостью 2 единицы. Интервал поступления транзактов задан в блоке GENERATE библиотечным генератором случайных чисел, имеющих экспоненциальное распределение вероятностей. Поскольку имя библиотечной процедуры Exponential является выражением, помещённым в поле блока, то оно, согласно синтаксису GPSS World, заключено в скобки. Три аргумента процедуры Exponential – это номер генератора стандартных случайных чисел, смещение генерируемой с. в. относительно нуля и м. о. генерируемой с. в.

Вблоках ADVANCE случайная задержка транзакта задаётся аналогичным образом. Среднее значение экспоненциальной задержки везде указано в соответствии с заданными параметрами моделируемой СеМО.

109