Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r принято от оси к стенке. Подставляя значение в предыдущее уравнение, получаем:

. (13.6)

Найдем отсюда приращение скорости

. (13.7)

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 13.1.

Выполнив интегрирование, получим:

. (13.8)

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке при V = 0:

. (13.9)

Скорость по окружности радиусом r

. (13.10)

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении (законом Стокса). Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r = 0), будет равна

. (13.11)

Входящее в формулу отношение (см. рис. 13.1) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на . Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра.

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (13.10), для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

. (13.12)

Здесь V есть функция радиуса, определяемая формулой (13.10), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

. (13.13)

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от до получаем:

, (13.14)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (13.14) получим:

. (13.15)

Cравнениe этого выражения с формулой (13.11) показывает, что средняя скорость пpи ламинарном течении в 2 pаза меньше максимальной: .

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора на трение через расход и размеры трубы, определим из формулы (13.14):

. (13.16)

Разделив это выражение на , заменив на и на , а так же перейдя от к , найдем:

. (13.17)

Полученный зaкон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, который впервые получил его экспериментальным путем, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Преобразуем выражение (13.17) с учетом уравнения (13.15) следующим образом:

, (13.18)

или, обозначая - коэффициент потерь на трение для ламинарного течения, окончательно получим:

. (13.19)

Формула (13.19) носит название формулы Дарси-Вейсбаха и выражает закон сопротивления трения по длине трубопровода при ламинарном течении жидкости. Зная закон распределения скоростей по сечению трубы, легко определить коэффициент Kopиолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Д. Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении (12.7) заменим скорость по формуле (13.10) и среднюю скорость по формуле (13.15), a также учтем, что S = πr²₀ и dS = 2πrdr. Послe подстановок и сокращений получим:

.

Итак, действительно кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.

Таким же путём можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в раз больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент , называемый коэффициентом Буссинесска, в данном случае равен 4/3.

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе xopoшo подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей;

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления.

13.1. Течение при больших перепадах давления

Опыт показывает, что при ламинарном течении в зазорах и трубах, происходящем под действием больших перепадов давления (около нескольких десятков МПа), падение напора вдоль потока оказывается существенно нелинейным, т.е. пьезометрическая линия для потока постоянного сечения заметно искривляется, а закон Пуазейля дает значительную погрешность.

Объясняется это тем, что при любом режиме потеря энергии на единицу расхода жидкости растет пропорционально перепаду давления, что влечет за собой нагревание жидкости при больших перепадах давления и уменьшение ее вязкости. С другой стороны, так как вязкость жидкости возрастает с yвеличением давления, в начале потока она будет повышенной, а вдоль потока будет уменьшаться вследствие падения давления. Таким образом, вязкость переменна вдоль потока, и, как результат одновременного действия на нее температуры и давления, продольный градиент давления dp/dx, обусловленный трением, оказывается в начале потока больше, а в конце потока меньше, чем то следует из закона Пуазейля. Что касается расхода, то повышение температуры уменьшает вязкость и, следовательно, способствует увеличению расхода, а высокое давление в жидкости повышает вязкость и уменьшает расход по сравнению с его значением по Пуазейлю при том же перепаде давления, т.е. влияние этих двух факторов на расход является противоположным.

С описанным видом ламинарного течения приходится сталкиваться особенно часто в высоконапорных гидромашинах, где под действием больших перепадов давления происходит перетекание вязкой жидкости через малые зазоры.

13.2. Ламинарное течение с облитерацией

Иногда при течении через капилляры и малые зазоры наблюдается явление, которое не может быть объяснено законами гидравлики. Оно заключается в том, что расход жидкости через капилляр или зазор с течением времени уменьшается, несмотря на то, что перепад давления, под которым происходит движение жидкости и её физические свойства остаются неизменными. В отдельных случаях движение жидкости по истечении некоторого времени может прекратиться полностью. Это явление носит название облитерации, и его причина кроется в том, что при определённых условиях уменьшается площадь поперечного сечения канала (зазора, капилляра) вследствие адсорбции (отложения) полярноактивных молекул жидкости на его стенках.

Толщина адсорбционного слоя для масел составляет несколько микрометров, поэтому при течении через капилляры и малые зазоры этот слой может существенно уменьшить площадь поперечного сечения или даже полностью перекрыть его.

13.3. Ламинарное течение с теплообменом

В движущихся жидкостях коэффициенты вязкости, теплопроводности и плотность зависят от температуры. В условиях интенсивного теплообмена с окружающей средой происходит изменение профиля скоростей, как в пределах поперечного сечения, так и вдоль потока. Это объясняется тем, что температура, а соответственно, и вязкость слоев жидкости, прилегающих к стенке трубы, под воздействием теплообмена меняется и вызывает изменение градиента скорости у стенки. Деформация профиля скоростей по сечению трубы приводит к изменению закона сопротивления. При ламинарном течении вязких жидкостей в трубах с теплоотдачей (охлаждением) сопротивление получается больше, а при течении с притоком теплоты (нагреванием) – меньше, чем при изотермическом течении.

14. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах

Для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия. Основной расчетной формулой для расчета потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является формула, называемая формулой Дарси - Вейсбаха и имеющая следующий вид:

. (14.1)

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном течении; различие заключается лишь в значениях коэффициента . Так как при турбулентном течении потеря напора на трение приблизительно пропорциональна скорости (и расходу) во второй степени, коэффициент потерь на трение в формуле в первом приближении для данной трубы можно считать величиной постоянной.

Однако из закона гидродинамического подобия следует, что коэффициент так же, как и , должен быть функцией основного критерия подобия напорных потоков - числа Рейнольдса Re, а также может зависеть от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости внутренней поверхности трубы, т.е.

, (14.2)

где - средняя высота бугорков шероховатости;

d - диаметр трубы.

Когда шероховатость трубы не влияет на ее сопротивление (на ), трубу называют гидравлически гладкой. Для этих случаев коэффициент является функцией лишь числа Рейнольдса: . Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, выражающих эту функцию для турбулентного течения в гидравлически гладких трубах; одной из наиболее удобных и употребительных является формула П. К. Конакова:

, (14.3)

применяемая при числе Re от до Re, равного нескольким миллионам.

При 2300 < Re < 10⁵ можно пользоваться также формулой Блазиуса:

. (14.4)

С увеличением Re коэффициент уменьшается, однако это уменьшение гораздо менее значительно, чем при ламинарном течении (рис. 14.1). Это связано с тем, что непосредственное влияние вязкости жидкости на сопротивление в турбулентном потоке гораздо меньше, чем в ламинарном.

Основную роль в образовании потерь энергии при турбулентном течении играют перемешивание и рассеивание кинетической энергии завихренных частиц.