Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

Введем понятие мощности потока. Мощностью потока в данном сечении будем называть полную энергию, которую проносит поток через это сечение в единицу времени.

Выразим элементарную мощность (мощность элементарной струйки) в виде произведения полной удельной энергии жидкости в данной точке на элементарный массовый расход:

. (12.2)

Мощность всего потока найдем как интеграл от предыдущего выражения по всей площади S:

, (12.3)

или, учитывая сделанное допущение,

. (12.4)

Найдем среднее по сечению значение полной удельной энергии жидкости делением полной мощности потока на массовый расход, т.е.

. (12.5)

Умножив и разделив последний член уравнения на , получим (переходя к напорам)

, (12.6)

где  - безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей и равный

. (12.7)

Коэффициент представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечении, но при равномерном распределении скоростей.

Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях соответственно и . Тогда

= + , (12.8)

где - суммарная потеря полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями. Используя формулу для , предыдущее уравнение можно переписать так:

. (12.9)

Это и есть уравнение Д. Бернулли для потока вязкой жидкости. От аналогичного уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости полученное уравнение отличается членом, представляющим собой потерю полного напора, и коэффициентом, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Кроме того, скорости, входящие в это уравнение, являются средними по сечениям.

Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется гидравлическим уклоном. Изменение удельной потенциальной энергии жидкости, отнесенное к единице длины, называется пьезометрическим уклоном. Очевидно, что в трубе постоянного диаметра с неизменным распределением скоростей указанные уклоны одинаковы.

12.2. Гидравлические потери (общие сведения)

Потери удельной энергии (напора), или, как их часто называют, гидравлические потери, зависят от формы, размеров русла, скорости течения и вязкости жидкости, а иногда и от абсолютного давления в ней. Вязкость жидкости, хотя и является первопричиной всех гидравлических потерь, но далеко не всегда оказывает существенное влияние на их величину. Как показывают опыты, во многих, но не во всех случаях гидравлические потери приблизительно пропорциональны скорости течения жидкости во второй степени, поэтому в гидравлике принят следующий общий способ выражения гидравлических потерь полного напора в линейных единицах:

, (12.10)

или в единицах давления

. (12.11)

Такое выражение удобно тем, что включает в себя безразмерный коэффициент пропорциональности , называемый коэффициентом потерь, или коэффициентом сопротивления, значение которого для данного русла в первом грубом приближении постоянно.

Коэффициент потерь , таким образом, есть отношение потерянного напора к скоростному напору.

Гидравлические потери обычно разделяют на местные потери и потери на трение по длине.

Местные потери энергии обусловлены так называемыми местными гидравлическими сопротивлениями, т.е. местными изменениями формы и размера русла, вызывающими деформацию потока. При протекании жидкости через местные сопротивления изменяется ее скорость и обычно возникают крупные вихри. Последние образуются за местом отрыва потока от стенок и представляют собой области, в которых частицы жидкости движутся в основном по замкнутым кривым или близким к ним траекториям.

Примерами местных сопротивлений могут служить устройства, изображенные на рис. 12.2. Там же показаны отрывы потока и вихреобразования.

а - задвижка; б - диафрагма; в - колено; г - вентиль

Рис. 12.2. Схемы местных гидравлических сопротивлений

Местные потери напора определяются по формуле (12.10) следующим образом:

, (12.12)

или в единицах давления

. (12.13)

Выражение (10.12) часто называют формулой Вейсбаха. В ней - средняя по сечению скорость в трубе, в которой установлено данное местное сопротивление. Если же диаметр трубы и, следовательно, скорость в ней изменяются по длине, то за расчетную скорость удобнее принимать большую из скоростей, т.е. ту, которая соответствует меньшему диаметру трубы.

Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента сопротивления , которое во многих случаях приближенно можно считать постоянным для данной формы местного сопротивления.

Потери на трение по длине, - это потери энергии, которые в чистом виде возникают в прямых трубах постоянного сечения, т.е. при равномерном течении, и возрастают пропорционально длине трубы (рис. 12.3). Рассматриваемые потери обусловлены внутренним трением в жидкости, а потому имеют место не только в шероховатых, но и в гладких трубах.

Рис. 12.3. Потери напора на трение по длине трубы

Потерю напора на трение можно выразить по общей формуле (12.10) для гидравлических потерь, т.е.

, (12.14)

однако удобнее коэффициент связать с относительной длиной трубы l/d. Возьмем участок круглой трубы длиной, равной ее диаметру, и обозначим его коэффициент потерь, входящий в формулу (12.14), через . Тогда для всей трубы длиной l и диаметром d коэффициент потерь будет в l/d раз больше:

. (12.15)

В результате формула (12.14) примет вид:

, (12.16)

или в единицах давления

. (12.17)

Формулу (12.16) обычно называют формулой Дарси-Вейсбаха. Безразмерный коэффициент называют коэффициентом потерь на трение по длине, или коэффициентом Дарси.

Нетрудно выяснить физический смысл коэффициента , если рассмотреть условие равномерного движения в трубе цилиндрического объема длиной l и диаметром d (см. рис. 12.3), т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и силы трения. Это равенство имеет вид:

, (12.18)

где - напряжение трения на стенке трубы.

Если учесть формулу (12.17), то легко получить:

, (12.19)

т.е. коэффициент есть величина, пропорциональная отношению напряжения трения на стенке трубы к динамическому давлению, определенному по средней скорости.

Ввиду постоянства объемного расхода несжимаемой жидкости вдоль трубы постоянного сечения скорость и удельная кинетическая энергия также остаются постоянными, несмотря на наличие гидравлических сопротивлений и потерь напора. Потери напора в этом случае определяются разностью показаний двух пьезометров (см. рис. 12.2 и 12.3).

13. Ламинарное течение в круглых трубах

Ламинарное течение является строго упорядоченным слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения основывается на законе вязкого трения между слоями движущейся жидкости (законе Ньютона-Петрова), который в данном случае является единственным источником потерь энергии.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром . Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Схема к расчету ламинарного течения жидкости

в круглой трубе

Пусть в сечении 1-1 давление равно , а в сечении 2-2 - . Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Д. Бернулли для выбранных сечений примет вид:

, (13.1)

где - потеря напора на трение по длине.

Преобразуя выражение (13.1) получаем:

, (13.2)

что и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через , получим:

, (13.3)

откуда . (13.4)

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 13.1 слева (эта эпюра не зависит от режима течения).

Выразим касательное напряжение по закону вязкого трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости:

. (13.5)