Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

Для примера установим зависимость коэффициента сопротивления крыла . Допустим, что зависит от следующих размерных величин: плотности , вязкости , скорости полета V и линейного размера крыла l. Тогда

. (11.27)

Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерную комбинацию указанных физических величин, представив их размерность степенным одночленом

. (11.28)

Для нахождения показателей a, d, с и п подставим в эту формулу значения размерностей физических величин в некоторой системе единиц. Выберем международную систему СИ. Тогда будем иметь

. (11.29)

Подставив эти величины в степенной одночлен, получим

, (11.30)

откуда относительно основных единиц измерения будем иметь три следующих уравнения

для кг: a + d = 0;

для м: - 3a - d + c + n = 0;

для сек:- в - с = 0. (11.31)

Решим эту систему, считая один из показателей степени, например п, известным. Получим а = с = п; d = - п. Таким образом, найдем безразмерную величину, от которой зависит

. (11.32)

Следовательно, зависит от числа Re. Показатель степени числа Re можно найти из эксперимента или каких - либо дополнительных соображений о механизме сопротивления крыла. Аналогичным образом с помощью теории размерности можно получить и другие числа подобия для гидродинамических процессов.

11.3. Методы моделирования

Различают физическое, аналоговое и численное моделирование. При физическом моделировании на модели исследуют явление, имеющую такую же физическую природу, что и происходящее в натуре.

Исследования на моделях проводят с учетом правил моделирования, или «правил подобия»:

1) процессы на модели должны быть той же физической природы, что и в натурных условиях;

2) условия однозначности для процессов на модели и в натурных условиях должны быть подобными;

3) безразмерные комплексы, составленные из размерных величин, входящих в описание условий однозначности, должны быть равны (или изменяться в одинаковых пределах).

При выполнении этих правил осуществляется физическое моделирование, когда на модели исследуют явление, имеющее такую же физическую природу, что и происходящее в натуре.

Численное моделирование представляет собой решение гидравлических задач с помощью численных методов на ЭВМ без выполнения лабораторных исследований.

Процессы различной физической природы, описывающиеся математически тождественными уравнениями, называются аналогичными. При организации на модели аналогичных процессов с выполнением второго и третьего правил осуществляется моделирование по методу аналогий (или математическое моделирование).

11.4. Методы аналогий

Если два или несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одним и тем же дифференциальным уравнением с сохранением граничных условий, то эти явления называют аналогичными.

В механике жидкостей и газов успешно используются электрические, газогидравлические, акустические, магнитные, тепловые, и другие виды аналогий. Наиболее часто используются следующие аналогии: 1) электрогидродинамическая (ЭГДА); 2) газогидравлическая (ГАГА); 3) магнитогидродинамическая (МАГА); 4) мембранная; 5) ламинарная; 6) тепловая и 7) диффузионная.

Первые пять аналогий относятся к аналогиям безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости, потенциал скорости и функция тока которого удовлетворяют уравнению Лапласа

(11.33)

Граничные условия для тела, обтекаемого потенциальным потоком идеальной жидкости, будут:

а) на поверхности тела вследствие непроницаемости твердой стенки нормальная составляющая скорости равна нулю, т. е.

(11.34)

б) на бесконечности при плоскопараллельном потоке, направленном вдоль оси х,

и . (11.35)

Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА) основывается на том, что электрический потенциал и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Для осуществления аналогии должны соблюдаться следующие соответствия.

1. Если в электрическое поле поместить тело из непроводящего материала, то гидродинамическим величинам - потенциалу скорости, функции тока и скорости на бесконечности соответствуют электрический потенциал, функция тока и напряженность электрического тока на бесконечности.

2. Если тело проводник, то потенциалу скоростей в гидродинамическом поле будет соответствовать функция тока в электрическом поле, а функция тока соответствует электрическому потенциалу. Соответствие скорости и напряженности электрического поля на бесконечности остается прежним.

Магнитогидродинамическая аналогия (МАГА) основана на том, что скалярный потенциал магнитного поля удовлетворяет при постоянном значении магнитной проницаемости уравнению Лапласа

. (11.36)

Так как компоненты напряженности магнитного поля равны

, (11.37)

то, при выполнении одинаковых граничных условий магнитному потенциалу будет соответствовать гидродинамический потенциал, а проекциям скорости в потоке жидкости будут соответствовать проекции вектора напряженности магнитного поля.

Мембранная аналогия основана на том, что прогиб ненагруженной мембраны z удовлетворяет уравнению Лапласа

, (11.38)

т.е. прогиб соответствует гидродинамической функции и, следовательно, поверхность мембраны изображает поверхность любой гармонической функции х и у. Тогда скорость плоского потока несжимаемой жидкости можно определить через прогиб в виде

. (11.39)

Уравнение нагруженной мембраны является уравнением Пуассона и имеет вид

, (11.40)

где р - избыточное давление на мембрану;

- ее натяжение.

Последнее уравнение имеет в гидродинамике своим аналогом уравнение для функции тока плоского вихревого движения идеальной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат

, (11.41)

где - угловая скорость вращения системы координат.

Ламинарная аналогия основана на том, что, для ламинарного движения вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластинками существует потенциал средних скоростей. Следовательно, если между пластинками поместить какое-либо тело (цилиндр), то спектр обтекания его будет соответствовать обтеканию этого тела идеальной жидкостью.

Ламинарная аналогия имеет то преимущество, что она дает непосредственную визуализацию линий тока, в том числе и для неустановившихся процессов. Ее недостаток - меньшая точность измерений и некоторое отклонение за счет прилипания жидкости к обтекаемым телам.

Газогидравлическая аналогия (ГАГА) - это аналогия между движением газа при больших скоростях потока и движением жидкости на мелководье. Разработана для двух случаев: а) аналогия между одномерным движением газа и потоком жидкости по руслу, имеющему заданную форму поперечного сечения и б) аналогия между двухмерным движением газа и движением жидкости в канале прямоугольного сечения.

12. Одномерные потоки жидкостей и газов

Одномерным называют движение, при котором скорость, давление, плотность, температура и другие параметры зависят лишь от одной координаты, направление которой совпадает с направлением вектора скорости. Если параметры одномерного движения не зависят от времени, движение является стационарным, если зависят – нестационарным.

В действительности одномерного движения не существует, однако введение его понятия и выяснение его закономерностей позволяет упрощенно решать многие задачи практики. Таким представлением движения широко пользуются в гидравлике, поэтому гидравлику часто называют наукой об одномерном движении.

12.1. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости

При одномерном движении потоки конечных размеров обычно рассматривают как совокупности элементарных струек, скользящих одна по другой без перемешивания.

Ранее при рассмотрении интеграла уравнения движения жидкости для различных случаев было получено уравнение Д. Бернулли для линии тока и, соответственно, элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости в виде

. (12.1)

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной (вязкой) жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жидкости.

При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например, в трубе, происходит торможение потока вследствие влияния вязкости, а также из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшего значения скорость достигает в центральной части потока, а по мере приближения к стенке она уменьшается практически до нуля. Получается распределение скоростей, подобное тому, которое показано на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Распределение скоростей в реальном потоке

жидкости

Неравномерное распределение скоростей означает скольжение (сдвиг) одних слоев или частей жидкости по другим, вследствие чего возникают касательные напряжения (напряжения трения). Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием. Все это требует затрат энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока. Из-за неравномерного распределения скоростей приходится вводить в рассмотрение среднюю по сечению скорость , а также среднее значение удельной энергии жидкости в данном сечении.

Прежде чем приступить к рассмотрению уравнения Д. Бернулли для потока вязкой жидкости, сделаем следующее допущение: будем считать, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики: .

Здесь предполагается, что при движении жидкости отдельные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои жидкости в неподвижном состоянии. Это соответствует действительности, когда течение в данных поперечных сечениях является параллельноструйным.