Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

9. Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах

Закон об изменении энергии или переноса энергии для некоторого объема формулируется следующим образом.

Изменение во времени полной энергии некоторой массы вещества равно сумме мощностей внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой массе и ее поверхности, сложенной с отнесенным к единице времени количеством тепла, которое протекает вследствие теплопроводности через поверхность, ограничивающую выделенную массу. Приведенный закон можно записать в виде

, (9.1)

где - мощности массовых и поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой массе и ее поверхности;

Q - количество тепла, протекающее в единицу времени через поверхность рассматриваемого объема.

Полная энергия единицы объема Е есть сумма внутренней и кинетической энергии, т.е.

. (9.2)

Внутренняя энергия единицы массы при условии, что газ совершенен, равна произведению абсолютной температуры Т на удельную теплоемкость при постоянном объеме , т.е.

. (9.3)

Следовательно, полная энергия единицы объема равна

. (9.4)

Работа массовых или объемных сил может быть вычислена как сумма работ составляющих массовых сил, отнесенных к единице массы, X, У и Z на перемещениях и . Следовательно, мощность массовых сил, отнесенных к единице объема, равна

. (9.5)

К каждой грани элементарного параллелепипеда приложены силы с нормальными и касательными составляющими. Рассмотрим работу сил, приложенных к граням, перпендикулярным к оси х. Работа нормальной составляющей , приложенной к грани 1, лежащей в координатной плоскости уz, равна

, (9.6)

а работа нормальной составляющей, приложенной к грани 2, удаленной от координатной плоскости уz на расстояние dx, будет

. (9.7)

Очевидно, сумма мощностей нормальных составляющих сил, приложенных к граням, перпендикулярным к оси х, отнесенная к единице объема, будет равна .

Соответствующая сумма мощностей касательных составляющих, приложенных к тем же граням, запишется

. (9.8)

Аналогичные расчеты мощностей поверхностных сил, приложенных к площадкам, нормальным к осям у и z, дают

; (9.9)

. (9.10)

Таким образом, мощность поверхностных сил единицы объема будет

(9.11)

Количество входящего и выходящего из данного объема тепла Q

. (9.12)

Тогда, подставив в уравнение (9.1) выражения для Е, , и Q по формулам (9.4), (9.5), (9.11) и (9.12), окончательно получим уравнение баланса энергии

. (9.13)

Мощность массовых сил можно представить в виде скалярного произведения

. (9.14)

Аналогичным образом представим мощность поверхностных сил в виде

, (9.15)

где - векторы напряжений поверхностных сил, приложенных к граням, перпендикулярным осям х, y и z. Тогда уравнение баланса энергии может быть представлено в виде

(9.16)

Для жидкой и газовой среды уравнение энергии может быть также представлено в интегральной форме

, (9.17)

где - элементарный объем и его контрольная поверхность;

- напряжение поверхностных сил;

- количество теплоты, подводимое к единице массы за единицу времени.

10. Турбулентность и ее основные статистические характеристики

10.1. Турбулентное течение

Для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений.

Рис. 10.1. Пульсация скорости в турбулентном потоке

Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осреднённого v_оср по времени значения, которое в данном случае остается постоянным. Турбулентное течение всегда является неустановившимся, так как значения скоростей и давлений, а также траектория частиц, изменяются по времени.

Распределение скоростей при турбулентном течении более равномерное, а нарастание скорости у стенки более крутое, чем при ламинарном течении.

Рис. 10.2. Профили скоростей в ламинарном

и турбулентном потоках

Так как при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и происходит перемешивание жидкости, закон трения Ньютона в этом случае выражает лишь малую часть полного касательного напряжения.

Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в поперечном направлении касательное напряжение τ₀ на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном. В связи с этим потери энергии при турбулентном течении жидкости в трубах также получаются иными, нежели при ламинарном.

Рис. 10.3. Зависимость от v и Q

10.2. Осредненные параметры и пульсации. Стандарт пульсационной скорости и степень турбулентности

Ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени для него не имеется достаточно строгой и точной теории.

Турбулентное движение в практических расчетах описывают не мгновенными, а осредненными во времени скоростями

, (10.1)

где Т – интервал усреднения.

Разность называют пульсационной скоростью.

Для оценки пульсационных составляющих (добавок) скорости вводят стандарт, равный среднеквадратичному отклонению пульсационных добавок

. (10.2)

Степенью (интенсивностью) турбулентности называют отношение среднеквадратичного отклонения пульсационной составляющей (добавки) скорости к характерной скорости потока (к осредненной местной скорости в данной точке, к средней по вертикали, к средней по живому сечению, к максимальной скорости). Обычно за характерную скорость принимают среднюю скорость потока, осредненную местную скорость в данной точке или динамическую скорость

, (10.3)

где R – гидравлический радиус;

J – гидравлический уклон.

Исследования показывают, что наиболее общие результаты для описания пульсирующих скоростей при турбулентном движении получаются, если в качестве масштаба скоростей принять динамическую скорость , т.е.

. (10.4)

10.3. Двухслойная модель турбулентности

В качестве примера рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток). Структуру потока в трубе при турбулентном режиме движения обычно представляют в виде приближенной двухслойной схемы (модели). На твердой стенке скорости, в том числе и пульсационные, равны нулю. Вблизи твердой стенки находится очень тонкий слой, в котором преимущественное влияние имеют касательные напряжения, рассчитываемые по закону вязкого трения Ньютона. Поэтому рассматриваемый слой называют вязким подслоем потока.

В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения на границе слоя. Раньше считали, что в пределах этого тонкого слоя движение полностью ламинарное, пульсации скорости, давления, касательного напряжения в нем отсутствуют и поэтому его называли ламинарным подслоем (пленкой).

Остальную часть поперечного сечения трубы считают занятой турбулентным ядром потока, где и происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц жидкости.

Уравнения движения, выраженные через осредненные скорости для случая турбулентного неустановившегося движения несжимаемой жидкости носят название уравнений Рейнольдса и в проекции на ось х имеют вид

(10.5)

Величины типа , входящие в уравнение Рейнольдса, называются турбулентными напряжениями. Связь между ними и скоростями деформаций устанавливается на основе гипотез, составляющих основу полуэмпирических теорий турбулентности (гипотеза М. Буссинеска, гипотеза Л. Прандтля, гипотеза Дж. Тейлора, гипотеза Т. Кармана и др.). В большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия.

Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является эмпирическая формула, называемая формулой Дарси-Вейсбаха и имеющая следующий вид

. (10.6)