Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

или

.

Отсюда следует, что если одна часть системы с массой получила некоторое изменение скорости дивижения , то остальные части изолированной системы должны изменить свои скорости так, чтобы выполнялось последнее равенство.

Закон сохранения момента количества движения утверждает, что при движении изолированной системы момент количества движения системы относительно некоторой точки, равный

,

где - радиус-вектор центра инерции части системы с массой ;

- скорость центра инерции этой части,

остается постоянным во все время движения, т.е.

, (8.3)

так как

.

Отсюда следует, что если внутри изолированной неподвижной системы в некоторый момент времени часть системы придет в движение, то остальная часть системы должна прийти в такое движение, чтобы общий момент количества движения оставался равным нулю.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма всех видов энергии Е в изолированной или замкнутой системе остается во все время движения величиной постоянной, т.е.

. (8.4)

8.2. Закон изменения количества движения

Из курсов физики и теоретической механики известна теорема об изменении количеств движения, согласно которой производная по времени от главного вектора количеств движения массы, заключенной в некотором объеме , равна главному вектору всех внешних сил , приложенных к объему

. (8.5)

Рассмотрим применение этой теоремы к стационарно движущемуся потоку жидкости.

Когда количество движения жидкости в объеме , заключенном внутри некоторой неподвижной (так называемой контрольной) поверхности s, будет равно

.

Подставив значение в уравнение (8.5), получим

.

Так как, согласно закону о сохранении массы в течение всего времени масса частиц жидкости остается постоянной, т.е. , то предыдущее равенство запишется следующим образом

или в проекциях на оси координат

;

;

.

Сделаем далее преобразования лишь для проекции на ось х. Так как для стационарного движения и

а

;

;

,

то

Очевидно, что второй интеграл в правой части обращается в нуль, так как при стационарном движении сжимаемой жидкости .

Пользуясь формулой Остроградского - Гаусса для связи интегралов по поверхности s и по объему , заключенному в этой поверхности, в форме

,

получим выражение изменения количества движения в проекции на ось х в виде

где

есть проекция вектора скорости на нормаль к площадке ds и, следовательно, есть масса жидкости, проходящая через элементарную площадку контрольной поверхности s.

Проделав аналогичные операции с проекциями на оси у и z, получим

;

.

Следовательно, уравнение импульсов или закон изменения количеств движения для стационарного движения любых жидкостей и всех сплошных сред (мука, пыль, песок и пр.) можно представить в векторной форме в следующем виде

. (8.6)

Можно заметить, что полученный закон изменения количеств движения для сплошных сред существенно отличается от ранее приведенной его формулировки для твердого тела. Это отличие выражается в том, что вместо производной по времени от количества движения некоторого твердого тела с объемом для сплошной среды рассматривается так называемый перенос количества движения через замкнутую контрольную поверхность s. Причем для определения изменения количеств движения некоторой массы жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, достаточно изучить только то, что происходит на этой контрольной поверхности.

8.3. Закон изменения момента количества движения

Для системы частиц закон об изменении момента количеств движения формулируется следующим образом: производная по времени от вектора главного момента количеств движения системы относительно какого-либо центра равна вектору главного момента внешних сил, приложенных к системе, взятому относительно того же центра, т.е.

. (8.7)

Если применить этот закон для объема жидкости , ограниченного контрольной поверхностью s, то получим, что изменение момента количеств движения относительно некоторой точки будет

.

После преобразований, аналогичных рассмотренным в предыдущем разделе 8.2, окончательно получим

. (8.8)

Следовательно, действие моментов внешних сил определяется моментом количеств движения жидкости, переносимым через поверхность s.

Еще раз подчеркнем, что применение законов об изменении количеств и момента количеств движения к объему, ограниченному некоторой контрольной поверхностью, не требует знания того, что происходит внутри выбранного объема. Необходимы знания величин лишь на поверхности s.

8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки

В некоторых случаях в гидравлике удобно применять уравнения количества движения (импульса сил), например, когда надо найти силу воздействия потока на преграду или русло, не рассматривая процессы, происходящие внутри потока жидкости.

Для материального тела массой m, движущегося со скоростью , изменение количества движения за время dt вследствие действия силы выразится векторным уравнением

, (8.9)

где - приращение количества движения, обусловленное импульсом .

Применим эту теорему механики к участку потока с расходом Q между сечениями 1-1 и 2-2 в условиях установившегося течения (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Схема применения уравнения количества

движения к жидкости

За время dt этот участок переместится в положение, определяемое сечениями 1'-1' и 2'-2'. Чтобы выразить приращение количества движения рассматриваемого участка, нужно из количества движения объема между сечениями 1-1 и 2-2 вычесть количество движения объема между сечениями 1’-1’ и 2'-2'. При вычитании количество движения промежуточного объема, ограниченного сечениями 1'-1’ и 2-2, сократится и останется лишь разность количеств движения элементов 2-2' и 1-1', которые на рис. 8.1 заштрихованы. Объемы этих элементов , а следовательно, и их массы одинаковы, поэтому приращение количества движения будет равно .

Это приращение количества движения обусловлено импульсом всех внешних сил, действующих на объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, - сил давления в первом и втором сечениях и , силы тяжести всего объема G, а также реакции стенок русла R, которая складывается из сил давления и трения, распределенных по боковой поверхности объема. Обозначим вектор равнодействующих всех сил через . Тогда

,

или после сокращения на dt

. (8.10)

Таким образом, при установившемся движении вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих на жидкость в фиксированном объеме, равен геометрической разности количеств движения жидкости, вытекающей из этого объема и втекающей в него за единицу времени. В этом заключается теорема Эйлера об изменении количества движения жидкого объема.

Уравнение (8.10) можно записать в виде

(8.11)

и в соответствии с этим построить замкнутый треугольник (или многоугольник) векторов, как показано на рис. 8.1. В связи с тем что в уравнении (8.11) вектор , имеет знак «минус», при построении он направлен в сторону, обратную действительному его направлению. То же уравнение (8.11) можно записать и в проекциях на ту или иную ось.

В качестве примера определим силу воздействия потока жидкости на преграду. Пусть жидкость вытекает в атмосферу и наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к потоку. В результате жидкость растекается по стенке, изменяя направление своего течения на 90° (рис. 8.2). Известны площадь сечения потока S, скорость истечения и плотность жидкости .

Рис. 8.2. Воздействие струи на преграду

Для решения данной задачи берем фиксированный объем, показанный штриховой линией, и применяем теорему Эйлера. Так как давление внутри струи и по поверхности жидкости равно атмосферному, т.е. избыточное давление равно нулю, уравнение, выражающее теорему Эйлера, для направления, совпадающего с вектором скорости истечения , будет иметь вид

. (8.12)

Это и есть сила воздействия потока жидкости на преграду. При другом угле установки стенки или других ее форме и размерах в правую часть формулы (8.12) вводится безразмерный коэффициент, отличный от единицы, но пропорциональность силы F произведению сохраняется.