Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е

УДК 517 11

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СПЕКТРА АНСАМБЛЕЙ ВОЛН В ЦЕПОЧКЕ НЕСВЯЗАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Е. Е. Гетманова

OOO «Дистанционный репетитор», Москва elge@mail.ru

В работе показано, как, действуя серией импульсов, восстановить все возможные волны в цепочке линейных несвязанных осцилляторов, либо восстановить определенные волны. Показано, какие серии импульсов не приводят к восстановлению волн.

Ключевые слова: волны в системе несвязанных линейных осцилляторов, восстановление волн в цепочке.

В работе [1] показано, что действие импульса силы на цепочку (систему) несвязанных линейных осцилляторов (маятников) с плавно меняющимися собственными частотами формирует волны. Волны создаются группами (волновыми группами) маятников. Разность фаз между соседними маятниками в волновых группах меняется в интервале существования волн, но в любой момент времени внутри этого интервала имеет одно и то же значение Волны, созданные идентичными волновыми группами, объединяются в ансамбли (совокупности) волн. Если закон изменения собственных частот маятников задан в виде0s 5s, c 1 , s 1,2,...,400, а частота внешней силы 103,с 1, T 2 , то время полного цикла формирования ансамблей волн в цепочке составляет 200T (положение всех маятников в моменты Т и 201T одинаково). В процессе формирования волн будет участвовать четыреста маятников. При условии бесконечного числа маятников полный цикл формирования ансамблей может рассматриваться как единица времени, которая определяется значениями 0s и . Спектр ансамблей показывает моменты времени, когда разность фаз между маятниками в волновых группах ансамблей кратна 2 . В [2] установлено, что действие второго импульса, в общем случае, уменьшает число ансамблей волн в системе, создает узловые маятники (маятники, которые имеют нулевую энергию и не совершают колебания по окончании действия импульса). Это приводит к сокращению времени существования волн по сравнению с временем их существования после действия первоначального импульса.

В настоящей работе показано, как, действуя серией дополнительных импульсов, восстановить все ансамбли волн, либо восстановить только ансамбли с требуемым минимальным числом волн, которые будут в дальнейшем реализовываться в цепочке. А также определить, какие серии импульсов не приведут к восстановлению волн.

Восстановлением волн некоторого ансамбля называется процесс, в результате которого волны будут иметь интервал существования такой же, как и после действия первоначального импульса. Сдвиг фаз между маятниками в

35

волновых группах восстановленных ансамблей в некоторый момент времени становится кратным 2 .

Выбирая моменты начала действия серии импульсов определенным образом, можно восстановить волны всех ансамблей, восстановить волны определенных ансамблей, либо не восстановить волны никаких ансамблей.

После действия первоначального импульса в течение полного цикла преобразований ансамблей волн возникают временные интервалы, в которых фор-

ментов времени существует ансамбль, включающий четыре волны. В этом же интервале существуют ансамбли с другим (большим четырем) числом волн, а также ансамбли с кратным четырем числом волн.

Поскольку действие второго импульса, начало которого определяется произвольным моментом T1, в общем случае сокращает как спектр ансамблей, так и интервал существования волн [2], то рассмотрим действие второго импульса с началом T1 49T .

Восстановление всех ансамблей волн в системе

При действии серии импульсов, начало которых определяется моментами (49 200n)T, где n – целое число, каждый новый импульс формирует в цепочке такой же набор ансамблей, как и созданный после действия первоначального импульса, но формирование ансамблей нового набора будет сдвинуто по времени на величину начала действия импульса. При выбранных моментах начала действия серии импульсов, в каждом новом наборе интервалы существования всех ансамблей будут совпадать, смещения, вызываемые действием повторных импульсов, будут складываться, и значительно превышать смещение, вызванное действием первоначального импульса, узловые маятники получат энергию и включатся в процесс колебаний. В цепочке восстановятся все возможные ансамбли волн. Энергия соседних маятников в цепочке будет незначительно отличаться. Смещение маятников xs(t) в моменты времени, когда сдвиг фаз между маятниками в волновых группах кратен 2 , после действия семнадцатого (включая первоначальный) импульса T16 3049T показан для ансамблей с двумя (рис. 1а) и четырьмя (рис. 1б) волнами. Аналогичный результат получается при действии серии импульсов, начала которых определяется (51 200n)T, (149 200n)T,(151 200n)T . Начало цикла преобразований ансамблей волн определяется моментом T1.

Восстановление определенных ансамблей волн в цепочке

Поскольку в цепочке в течение полного цикла преобразований ансамблей существует несколько временных интервалов, в которых формируются ансамбли с одинаковым числом волн, то продемонстрируем, что происходит с волнами при выборе моментов времени начала действии серии импульсов в интервалах формирования идентичных (с одинаковым числом волн) ансамблей волн. К при-

36

(49 100n)T, где n – целое число, энергия четных и нечетных маятников будет отличаться. Нечетные маятники в процессе действия импульса не будут получать энергию. Поэтому в цепочке сформируются только ансамбли четных волн, которые в свою очередь будут формировать лишь волны из четных маятников. Смещение маятников при формировании ансамблей из двух (рис. 2а) и четырех (рис. 2б) волн, созданных из четных маятников после семнадцати (включая первоначальный) импульсов T16 1549T , в момент, когда сдвиг фаз между маятниками в волновых группах кратен 2 . Энергия соседних четных маятников отличается незначительно, четные узловые маятники получаются энергию и участвуют в процессе колебания. Начало цикла преобразования определяется временем T1.

Рис. 2

Образование полос в спектре и узловых маятников

Если начала действия импульсов соответствуют 49T,151T,249T,351T, 449T,551T..., то восстановления волн не происходит. В моменты времени ts1, когда сдвиг фаз между маятниками в волновых группах, созданных после действия импульсов 49T,249T,449T... кратен 2 , сдвиг фаз между этими же ма-

37

ятниками в волновых группах, созданных после действия импульсов 151T,351T,551T... будет равен 2 n1 . И наоборот, в моменты времени ts2, когда сдвиг фаз между маятниками в волновых группах ансамблей 151T,351T,551T... кратен 2 , сдвиг фаз в этих же волновых группах ансамблей 49T,249T,449T... равен 2 n2 .Не существует моментов времени, при которых сдвиг фаз между маятниками в волновых группах кратен 2 , а значит, длительность волн в ансамблях не восстанавливается. Возникают узловые маятники, энергия распределяется по группам маятников.

Минимальный сдвиг фаз 2между маятниками в волновых группах достигается в момент ts1 ts2 2. На рис. 3а показаны четыре волны с мини-

мально возможным в интервале их существования сдвигом фаз между маятниками в волновых группах. Помимо ансамблей с числом волн, кратным четырем, которые разделены на полосы, формируются также волны с нечетным числом волн. На рис. 3б показано шесть из тридцати трех волн, соответствующего ансамбля (момент ts1 ts2 2).

Рис. 3

Выводы

1. Действие второго импульса, в общем случае, нарушает порядок формирования волн, который был создан после действия первоначального импульса, уменьшает количество ансамблей волн, и сокращает время их существования.

Восстановление всех ансамблей в цепочке (приведение процесса колебаний в состояние, которое было создано после действия первоначального импульса), осуществляется при действии на цепочку серии импульсов, с началом T1 200nT . Значение 200T определяет период цикла преобразования ансамблей (время, за которое в цепочке сформированы все возможные ансамбли волн и маятники возвратились в состояние, которое имели после окончания действия первоначального импульса). При бесконечном числе маятников время полного цикла преобразования определяется собственными частотами маятников и частотой внешней силы и представляет собой единицу времени данной цепочки. После

38

действия импульсов T1 200nT восстанавливаются все ансамбли волн, при этом время начала цикла преобразования смещается на величину T1.

2.В цепочке в течение полного цикла преобразований ансамблей, существует несколько временных интервалов, в которых формируются ансамбли с одинаковым числом волн. Выбор начала действия серии импульсов в таких интервалах, смещенных относительно моментов ts, когда в волновых группах волн формируется сдвиг кратный 2 , в сторону либо уменьшения, либо увеличения указанного времени, восстанавливается только часть ансамблей волн.

3.Выбор начала действия серии импульсов в моменты, как увеличения, так и уменьшения времени ts, не приводит к восстановлению волн в ансамблях,

авызывает деление спектра ансамблей на полосы, образованию узловых маятников, сокращению интервала существования и искажению волн в ансамблях.

Литература

1.Гетманова Е. Е. Образование волн в системе несвязанных линейных осцилляторов // Физико-математическое моделирование систем: материалы ХIII Междунар. семинара. - Во-

ронеж: ВГТУ. – 2014. – Ч. 1. – С. 54-60.

2.Гетманова Е. Е. Формирование устойчивых энергетических областей в цепочке несвязанных линейных осцилляторов // Физико-математическое моделирование систем: материалы ХIX Междунар. семинара. – Воронеж: ВГТУ. – 2018. – С. 40-46.

RECONSTRUCTION OF THE SPECTRUM OF WAVE ENSEMBLES IN A CHAIN OF UNLINKED LINEAR OSCILLATORS

E. E. Getmanova

Company “DistTutor”, Moscow

The influence of a series of pulses on the recovery of waves in a chain of unlinked linear oscillators is studied in the work. It is shown which series pulses restore only certain waves or do not lead to the recovery waves at all.

Keywords: waves in system of unlinked linear oscillators, recovery of waves in a chain.

39