Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е
УДК 517.927
ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Г. Э. Абдурагимов
Дагестанский государственный университет, Махачкала gusen_e@mail.ru
В данной работе посредством численной реализации итерационного процесса осуществляется построение положительного решения краевой задачи для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка, существование и единственность которого ранее было установлено автором в работе [1].
Ключевые слова: краевая задача, положительное решение, итерации.
В данной работе посредством численной реализации итерационного процесса осуществляется построение положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка, существование и единственность которого ранее было установлено автором в работе [1].
Рассмотрим краевую задачу
|
|
|
|
|
|
/ |
( ) |
1 |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
"( )+0,8(2 ) |
|
+ |
( +1) |
|
= 0, |
0 < |
|
< 1, |
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) −9 |
(0) = 0, |
|
|
|
|
(2) |
|||
|
Сведем краевую |
10 (0) − 99 (0) − |
(1) = 0, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
задачу (1)-(2) к задаче Коши в интегральной форме |
||||||||||
( ) = −0,64√2 |
|
|
/ |
( ) |
+(ln(1+ |
) − |
) |
( ) |
+ |
( ′+9),(3) |
|||||||
|
|
||||||||||||||||
где |
– |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
произвольное число, соответствующему начальному условию |
|
|
||||||||||||||
|
Опираясь на соответствующие априорные оценки [1] |
положительного |
|||||||||||||||
|
|
|
(0) = |
|
|||||||||||||
решения задачи (1)-(2) и в силу достаточной малости составляющих (3), можно утверждать, что рассматриваемый итерационный процесс сходится.
При численной реализации метода простой итерации решения уравнения
(3) для подсчета интеграла мы воспользовались квадратурной формулой трапеции с равномерной сеткой. Соответствующие итерационные расчеты осуществляем до тех пор, пока с необходимой точностью не найдем число , обеспечивающее выполнение разностного аналога второго граничного условия краевой задачи (1)-(2).
В соответствии с вышеприведенной схемой, результат численных расчетов, полученный интерполированием сеточного решения задачи (1)-(2) (см. таблицу), представлен в виде графика положительного решения задачи (1)-(2) на рисунке.
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,40 |
|
|
|
|
|
= 0.1285 |
|
|
|
||||
|
|
Положительное решение задачи (1)-(2) при |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,00 |
|
|
0,10 |
|
0,20 |
|
0,30 |
|
0,50 |
|
0,60 |
|
0,70 |
|
|
0,80 |
|
0,90 |
|
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1,16 |
|
|
1,16 |
|
1,15 |
|
1,13 |
1,10 |
1,05 |
|
0,99 |
|
0,92 |
|
|
0,83 |
|
0.73 |
|
0,62 |
|
Литература
1.Абдурагимов, Г. Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально – дифференциального уравнения второго порядка / Г. Э. Абдурагимов // Известия вузов. Серия: Математика. – 2006. – № 5. – С. 3-7.
NUMERICAL REALIZATION OF THE POSITIVE SOLUTION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM TYPE FOR A SECOND-ORDER
NONLINEAR INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATION
G. E. Abduragimov
Dagestan State University, Makhachkala
On the basis, through the numerical realization of the iterative process, a positive solution of the boundary-value problem for one nonlinear second-order integro-differential equation is constructed, the existence and uniqueness of which was previously established by the author in [1].
Keywords: boundary value problem, positive solution, iterations.
21
УДК 538.91+519.65
ПЕРВОПРИНЦИПНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФОНОННОГО СПЕКТРА НЕЛИНЕЙНОГО КРИСТАЛЛА BaGaGe2S6
И. В. Будкин, С. А. Климин, Б. Н. Маврин
Институт спектроскопии Российской академии наук, Москва klimin@isan.troitsk.ru
Выполнен расчет фононных свойств кристалла BaGaGe2S6 из первых принципов. Вычисленные частоты оптических фононов находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными. Получены дисперсионные зависимости и плотность фононных состояний.
Ключевые слова: первопринципные вычисления, фононы, плотность состояний, нелинейный кристалл.
Кристалл BaGaGe2S6 – это перспективный нелинейный материал для применений в средней ИК-области спектра (2-10 мкм), генерации второй гармоники, параметрического усиления света. Этот кристалл, а также его селеновый аналог BaGaGe2Se6, были синтетически получены совсем недавно[1,2]и их нелинейные характеристики находятся на уровне лучших материалов нелинейной оптики, используемых на практике [1-3]. Оптические свойства данных кристаллов еще недостаточно изучены. В данной работе мы представляем результаты расчета фононных свойств кристалла BaGaGe2S6 из первых принципов.
Расчет проводился в рамках теории функционала плотности (DFT) в базисе плоских волн (PW) с использованием программного пакета Abinit [5]. Об- менно-корреляционное взаимодействие электронов учитывалось псевдопотенциалом PBE-GGA с сохранением нормы. При обрезании плоских волн был использовано пороговое значение 1360 эВ для кинетической энергии. В качестве валентных электронов были использованы конфигурации 2s2, 4s24p1, 4s24p2 и 3s23p4 для атомов Ba, Ga, Ge и S, соответственно. Обратим внимание, что кристаллическая структура (пространственная группа R3) содержит одну особенность, осложняющую математическое моделирование, и требующую нестандартного подхода к расчету. Дело в том, что галлий и германий делят одну и ту же кристаллографическую позицию 9b [2]. В результате возникает разупорядочение, приводящее к усложнению колебательного спектра. Для расчета в случае разупорядоченной структуры был использован подход, называемый «генерирование алхимического потенциала» [5]. Суть метода состоит в смешивании потенциалов отдельных атомов (галлия и германия) в стехиометрической пропорции. Интегрирование по зоне Бриллюэна проводилось по волновым векторам, соответствующим сетке Монкхорста-Пека 4 4 4. Фононные свойства вычислялись в приближении теории линейного отклика.
Первым этапом вычислений является релаксация структуры. Критерий сходимости для сил при релаксации составлял 10–2 эВ/Å. Релаксация структуры проводилась двумя способами. В одном случае происходило фитирование
22
только положений атомов (расчет 1), в другом – релаксировались как положения атомов, так и постоянные решетки (расчет 2).
Выполненный теоретико-групповой анализ показывает, что в кристалле есть два типа колебаний, невырожденные колебания симметрии A и вырожденные – симметрии Е. Оптические колебания описываются следующей формулой:
opt = 9A 9E. |
(1) |
В таблице приведены вычисленные двумя способами частоты фононов, а также известные экспериментальные данные (две колонки для каждого способа
– частоты поперечных и продольных фононов). Сравнение частот показывает, что оба расчета качественно хорошо воспроизводят экспериментальный спектр. В частности, отметим, что экспериментальный спектр содержит энергетическую щель в диапазоне 200-320 см-1. Эта щель воспроизводится в расчете и обусловлена тем, что частоты валентных колебаний Ge-S находятся выше частот деформационных и трансляционных колебаний. Отметим, что средняя ошибка в воспроизведении частот существенно меньше в случае расчета 1 (3%), чем для расчета 2 (7%). Это различие связано, вероятно, с недостатком алхимического псевдопотенциала для описания неупорядоченности решетки кристалла.
Вычисленные и экспериментальные частоты в см–1 в центре зоны Бриллюэна. Расчет 1: релаксация только положений атомов (параметры ячейки фиксированы на экспериментальных значениях). Расчет 2: релаксация параметров ячейки и положений атомов
Симметрия |
Расчет 1 |
Расчет 2 |
Эксперимент [4] |
||
|
TO |
LO |
TO |
LO |
|
E |
63 |
65 |
54 |
56 |
63 |
A |
69 |
78 |
60 |
69 |
65 |
A |
93 |
93 |
95 |
95 |
100 |
E |
105 |
106 |
107 |
108 |
114 |
A |
125 |
125 |
123 |
123 |
|
E |
127 |
128 |
126 |
126 |
136 |
E |
157 |
159 |
153 |
156 |
162 |
E |
162 |
163 |
163 |
165 |
173 |
A |
171 |
178 |
168 |
175 |
177 |
A |
186 |
189 |
184 |
187 |
195 |
A |
315 |
315 |
296 |
296 |
323 |
E |
338 |
340 |
314 |
315 |
327 |
A |
348 |
359 |
315 |
327 |
344 |
E |
362 |
367 |
335 |
340 |
|
A |
381 |
383 |
347 |
349 |
387 |
E |
388 |
390 |
352 |
352 |
379 |
A |
388 |
399 |
352 |
365 |
408 |
E |
396 |
424 |
365 |
382 |
408 |
23
Вычисленные дисперсия и плотность фононных состояний для кристалла BaGaGe2S6 приведены на рисунке. На нем достаточно наглядно видна щель в спектре фононных возбуждений. Отметим, что фононный спектр достаточно короткий (частоты не выше 400 см–1), что является важным для практических применений в ИК-области спектра.
Дисперсия фононных мод и плотность фононных состояний кристалла
BaGaG2S6
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-32-00588).
Литература
1.Lin X., Guo Y., et al. // J. Solid State Chemistry. 2012, V.172 P.172-177.
2.BadikovV.V.; Badikov D.V.,et al.//Optical Materials Express. 2016, V.6. P.2933-2938.
3.Ионин А.А., Киняевский И.О., и др.//VII Международная конференция по фотонике и информационной оптике: сборник научных трудов. М.: НИЯУ МИФИ, 2018. С.312-313
4.Будкин И. В., Маврин Б. Н., и др. // Материалы XXIII Международной конференции
«Оптика и спектроскопия конденсированных сред». Краснодар. 2017. С.341-344. 5. https://www.abinit.org/
AB INITIO CALCULATION OF THE PHONON SPECTRUM
OF NONLINEAR ВаGa2GeS6
I. V. Budkin, S. A. Klimin, B. N. Mavrin
Institute of Spectroscopy RAS, Troitsk, Moscow
Ab initio calculation of the phonon properties of nonlinear BaGaG2S6 was performed. Calculated phonon energies are in reasonably good accordance with the experimental data. Phonon dispersion curves and density of the phonon states are calculated.
Keywords: ab initio calculations, phonons, density of states, nonlinear crystal.
24