Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е
УДК 53.097
СПОНТАННОЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ ЭДС В ДВУМЕРНОЙ СВЕРХРЕШЕТКЕ С МОДИФИЦИРОВАННЫМ
ЭЛЕКТРОННЫМ СПЕКТРОМ
В. Л. Абдрахманов1, Д. В. Завьялов1, С. В. Крючков2
1 Волгоградский государственный технический университет
2 Волгоградский государственный социально-педагогический университет
369565@gmail.com, sinegordon@gmail.com, svkruchkov@yandex.ru
В работе исследовано спонтанное возникновение электрического поля поперечного по отношению к тянущему в двумерной сверхрешетке с неаддитивным энергетическим спектром, не сводящимся к аддитивному никаким поворотом координат.
Ключевые слова: сверхрешетка, неаддитивный спектр, спонтанное поле.
В работе [1] теоретически исследована анизотропия проводимости и высокочастотные свойства двумерной сверхрешетки с неаддитивным законом электронной дисперсией при наличии сильного статического электрического поля. Вычисления проводились для оригинальной модели электронного спектра. Основными усилиями авторов [1] были поиск механизмов, позволяющих реализовать высокочастотную отрицательную дифференциальную проводимость в диапазоне с положительной статической дифференциальной проводимостью. Энергетический спектр, который был использован в [1] имеет вид
|
( ) = |
|
1 |
cos( |
) +cos |
|
|
|
|
|
+Δ 1 − |
2 |
)cos |
+ |
(1) |
||||
Здесь |
– проекции |
|
|
+Δ |
cos( |
, |
– |
||
периоды сверхрешетки, |
|
квазиимпульса вдоль осей координат, |
|||||||
в соответствующих направлениях. Спектр (1) обладает, |
|||||||||
двумя важными особенностями. Во-первых, он периодичен в импульсном пространстве. Во-вторых, он неаддитивен. Причем неаддитиность спектра имеет нативный характер, то есть не устраняется поворотом координатный осей. Это позволяет надеяться, что в двумерной сверхрешетке со спектром (1) возможно проявление других уникальных эффектов.
Анизотропные электрические свойства квадратной сверхрешетки со спек-
тром ( ) = 1 − cos( ) +cos были исследованы в работе [2].
Найдем плотность тока вдоль оси OX сверхрешетки со спектром (1) под действием постоянного электрического поля с напряженностью = { , }. Для решения задачи воспользуемся квазиклассическим приближением. Плотность тока определяется стандартным образом
15
где |
= |
v ( |
) ( , ), |
(2) |
|
|
|
v = |
( ) |
. |
(3) |
|
Неравновесная функция распределения |
является решением кине- |
|||
тического уравнения Больцмана, |
столкновительный( , ) |
член которого выберем в |
|||
приближении частоты столкновений , которую в дальнейшем считаем постоянной. Таким образом, уравнение Больцмана имеет вид
( , ) + ( , ) = − ( ( , ) − ( )), (4)
где ( ) – равновесная функция распределения. Решение уравнения (4) имеет следующий вид:
( , ) = |
(− ( − )) ( ( )), |
(5) |
где ( ) представляет собой решение классического уравнения движения электрона
с начальным условием t t, p p. |
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя решение уравнения (6) в (2), (3), (5) и считая электронный газ |
|||||||||||||||
невырожденным, получим следующее выражение для плотности тока |
|
|
|||||||||||||
|
= |
∆ |
1+ |
− |
|
1+ |
+ |
|
∆ |
∆ , |
∆ |
+ |
|
|
|
|
|
+2 |
(1+ |
)(1+ |
− |
) |
∆ |
, |
/ |
|
|
|
(7) |
||
|
∆ |
/(1+ |
)– |
1+ |
− |
|
|
1+ |
+ |
. |
|
|
, |
||
Здесь |
= ∆ /∆ , |
|
температура в энергетических единицах, |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
=/ , / – напряженности электрических полей в безразмерных
единицах, |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
( |
, ) = |
|
exp |
cos( ) |
+2cos( |
) , |
|||
|
2 |
1 |
2 |
||||||
( , |
) = |
exp |
1 |
|
cos( ) |
|
+2cos( ) |
cos( ), |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
( ) – модифицированная функция Бесселя первого рода мнимого аргумента. Допустим теперь, что образец разомкнут в направлении оси OX. В этом
случае выполняется условие = 0. С учетом выражения (7) получим
16
|
∆ |
1+ |
|
− |
|
1+ |
+ |
|
∆ |
|
∆ , |
∆ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+2 (1+ ) 1+ |
|
− |
∆ |
, |
|
= 0. |
|
что |
|
|
(8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решим это уравнение относительно поля . |
Получим, |
|
уравнение |
|||||||||||||||
имеет следующие корни |
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ± |
−2+ |
+ |
|
(−1+ |
)Δ |
− |
( |
− 8 |
|
|
− 4 |
|
) |
, |
(10) |
|||
|
|
|
|
|
2+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ± |
−2+ |
+ |
|
−1+ |
|
|
+ |
( |
− 8 |
|
|
− 4 |
|
) |
. |
(11) |
||
|
|
|
|
|
2+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь |
|
∆ |
|
|
∆ |
. Таким образом видно, что в случае ра- |
||||||||||||
|
оси OX образца может существовать ненулевое электрическое |
|||||||||||||||||
зомкнутого по = |
∆ , |
|
/ ∆ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поле (при условии, что это решение является устойчивым, для чего необхо-
димо выполнение условия |
|
|
√ |
|
|
|
|
. Из (9)-(11) видно также, что при вы- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тянущее поле, при котором становятся воз- |
|||||
полнении условия |
|
|
|
/ |
|
> 0) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
можными |
ненулевые решения уравнения (8) определяется выражением |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 < |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
> |
√ |
|
|
|
|
− |
1 − 4 |
+ |
1 − |
|
||||||
при |
|
|
поле равно |
|
= |
|
8 |
+4 |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проиллюстрируем вышесказанное графиками (рис. 1) левой части выражения (8) в зависимости от , построенными при нескольких значениях (при типичных значениях параметров сверхрешетки и комнатной температуре).
Отметим, что подобная задача была решена ранее [3] для сверхрешетки со спектром ( ) = +Δ cos( )cos . При этом наш результат переходит в результат [3] при ∆ = 0 и условие разомкнутости образца вдоль оси OX примет вид
|
|
|
. |
(12) |
Из (12) следует, что при |
|
решением (12) может быть только |
. |
|
1+ − |
= 0 |
|
||
Однако при > 1 этот корень |
теряет устойчивость, и появляется новая пара |
|||
≤ 1 |
|
|
= 0 |
|
17
устойчивых корней |
|
|
. Эту ситуацию иллюстрирует следующий |
график левой части |
(12) в зависимости от , построенными при нескольких |
||
= ± |
− 1 |
|
|
значениях (рис. 2). |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Рис. 2 |
18 |
Этот результат можно трактовать как спонтанное возникновение поперечного поля при изменении тянущего. В нашем же случае (как видно из рис. 1)
при появлении новой пары устойчивых корней корень = 0 устойчивости не теряет, и у системы возможно существование нескольких различных по модулю значений поперечного поля. Таким образом, спонтанно поперечное поле, отличное от нуля, не возникнет, но при возбуждении внешним импульсом с напряженностью, направленной вдоль оси OX, вполне возможно достигнуть перехода системы из одного устойчивого состояния в другое с ≠ 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках проектной части государственного задания, код проекта 3.2797.2017/4.6.
Литература
1.M. L. Orlov, Yu. A. Romanov, L. K. Orlov, Microelectronics Journal, 36, 396, (2005)
2.Д. В. Завьялов, С. В. Крючков, Journal of Nanoand Electronic Physics, 5, 04001,
(2017)
3. Г. М. Шмелев, Э.М. Эпштейн, Физика твердого тела, 34, 2565, (1992)
SPONTANEOUS EMERGENCE OF TRANSVERSE EMF IN TWO-DIMENSIONAL SUPERLATTICE WITH MODIFIED ELECTRONIC SPECTRUM
V. L. Abdrakhmanov1, D. V. Zav’yalov1, S. V. Kryuchkov2
1Volgograd State Technical University
2Volgograd State Socio-Pedagogical University
In this work we investigate the spontaneous emergence of an electric field transverse with respect to the pulling one in a two-dimensional superlattice with a non-additive energy spectrum which can’t be reduced to an additive one by any rotation of the coordinates.
Keywords: superlattice, non-additive spectrum, spontaneous field.
19