Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Полученный результат будет зависеть от направления век­ тора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упро­

стится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляри­

зацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для раз­ личных поляризаций будут разными, и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, пер­ пендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рас­ сматривая простейший пример, однако в обоих случаях прин­ цип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е* имеет только 2-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания

только одна 2-компонента. Таким образом, для всех волн Ех и EV1 Рх и Pv равны нулю. Направления векторов Е и В в этих

волнах показаны на фиг. 33.6. (Здесь мы изменили нашему пер­ воначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить из граничных усло­ вий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свобод­ ное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений. Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.)

Теперь наши граничные условия [уравнения (33.26) — (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у нас есть только одна преломлен­ ная волна, а вот в области 1 —их две. Какую же из них нам взять?

Поля в области 1 будут, разумеет­ ся, суперпозицией полей падаю-

Ф иг. 33.6. Поляризации отраженной и преломленной волн, когда поле Е в па-

дающей волне перпендикулярно пло­ скости падения.

81

щей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет урав­ нениям Максвелла,то мм удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на гра-

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала у—0. Для этого значения уравнение (33.38) превраща­

ется в

Е0еш + E'aeia'<=

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляций одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.

Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для *= 0 . Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех зна­ чениях у, мы получаем

82

Из формулы (33.40) k'2=k-, так что

k? + k'y2 = k2 + k2.

Комбинируя это с (33.41), находим

ь'2= k2

или k'x= ± ks. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую

волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отра­ жения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа

оказываются комплексными и нам следует воспользоваться (33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы 0,- и 0* из (33.46),

и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующи­ ми комплексными величинами kx или /£.]

83

Д о сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех со и ft, мы можем сократить экспоненциаль­ ный множитель в (33.38) и получить

Но поскольку мы не знаем ни Е'а, ни Е’0, то необходимо еще

одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Ех и Ev не помогут, ибо все Е имеют

только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

&xt= &xi‘

Согласно условиям (33.35) — (33.37),

Еа + Е'0 = Е"0.

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) В гг= В ги но у вектора

В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие —

x—0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее

граничное условие:

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно Е\

84

Ф и г . 33.7. Поляризации волн, когда тюле Е в падающей волне па­ раллельно плоскости падения.

и Вспоминая, что/г'=—/гж, получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k"x эти формулы дают нам все,

что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллель­ ным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как х-9так и ^/-компоненту. Вся алгебра при этом будет

менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное

поле, которое целиком направлено по оси г.) При этом мы найдем

(33.53)

и

(33.54)

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отражен­

ной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного пока­

зателя (или вещественных k) можно записать:

85