Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания

синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, на­

пример, Е) может быть записана в форме

где Eq— амплитуда поля в точке г (относительно начала коорди­

нат) в момент /. Вектор к указывает направление распростране­ ния волны, а его величина \k\=k=2n/X равна волновому числу.

Фазовая скорость волны Уфаз=со/Л для света в материале с пока­ зателем п будет равна с!п, поэтому

Предположим, что вектор к направлен по оси z\ тогда к-г будет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора к в любом другом направлении z следует заменить на rh — расстояние от начала в направлении вектора к, т. е. kz мы должны заменить на krh%

что как раз равно к*г (фиг. 33.2). Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом на­ правлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

к-г = kxx+ kvy+ k2z>

где kx, ky и kz — компоненты вектора к по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (со, kxy ky, k2)

образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (/, ху у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны

есть инвариант и формулу (33,6) можно записать в виде

Е = Е / к^ -

Однако сейчас нам такие хит­ рости не понадобятся.

Для синусоидального по­ ля £ , подобного выражению

71

Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с диффе­ ренциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется

простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция у=(д/дх), (д/ду), (д/dz) заменяется тремя умноже­ ниями (—ikx, —ik„, — ikz). Но эти три множителя преобразуются

как компоненты вектора к, так что оператор у заменяется умно­

жением на —tk:

Правило остается справедливым для операции V в любой ком­ бинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента V X E равна

Если и Еу и Ех изменяются как ег(к г, то мы получаем

— ikxEy+ ikvEx,

что представляет, как вы видите, z-компоненту — i k x Е. Таким образом, мы получили очень полезный общий закон,

что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните,

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пу­ стом пространстве, т. е. что вектор В в волне направлен под прямым углом к вектору Е и направлению распространения волны. (В пустом пространстве <o!k=c.) Знак в уравнении (33.9)

вы можете проверить, исходя из того, что к является направле­ нием вектора Пойнтинга S=e„c*(E xB ).

Если вы примените то же самое правило к другим уравнениям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

72

Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.

Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить та­ кую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студентам

на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е. когда поля­

ризация Р связана с электрическим полем Е через тензор поляри­ зуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете главные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда Рх=&аЕх* Ру=аьЕи, a Pz=acEz), но направление волны и ее поляризация

пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между Е и В и определить, как изменяется к с направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подоб­ ного турмалину, для которого два коэффициента поляризуемости равны между собой (например, аь=ас), и попытаться понять,

почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три а различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний — знаете ли вы столь­ ко же, сколько студент, заканчивавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотроп­ ные вещества.

Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, по­ падает плоская волна, то возникают как отраженная, так и пре­ ломленная волны. Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего не известно, и посмотрим, что можно из него вы-

Ф и г . 33.3. Векторы распространения к, к' и к*для падающей,

отраженной и прелом­ ленной волн.

73

вести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость уг совпадала с по­ верхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фрон­

ту волны (фиг. 33.3).

Электрический вектор в падающей волне может быть записан

так что ее частота равна ©', волновое число к', а амплитуда Е'». (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора к в отра­ женной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим пред­ полагать даже это. Пусть это все получится само собой из мате­ матического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

(33.14)

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотноше­ ние (33.9), так что для каждой из волн

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозна­ чим через til и л2, то из уравнения (33.10) получится

§ 3. Граничные условия

Все, что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и пре­ ломленной волн через параметры падающей. Как это сделать? Три описанные нами волны удовлетворяют уравнениям Максвел­ ла в однородном материале, но, кроме того, уравнения Максвелла

74

Фиг. 33.4. Граничное условие Еу«=Еуъ полученное из равенства u)E*ds=0.

должны удовлетворяться и на гра­

нице между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас по­

смотреть — что же происходит на самой границе. Мы найдем, что

уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны определенным образом согласовывались друг с другом.

Вот один из примеров того, что мы имеем в виду. Составляю­ щая по оси у электрического поля Е должна быть одинакова по

обеим сторонам границы. Это требуется законом Фарадея:

в чем нетрудно убедиться. Рассмотрим для этого маленькую петлю Г, которая с обеих сторон охватывает границу (фиг. 33.4). Согласно уравнению (33.19), криволинейный интеграл от Е по петле Г равен скорости изменения потока В через эту петлю:

Вообразите теперь, что прямоугольник очень узок, так что он замыкается в бесконечно малой области. Если при этом поле В остается конечным (нет никаких причин ему быть бесконечным!), то поток через эту область будет равен нулю. Таким образом, контурный интеграл от Е должен быть нулем. Если //-компоненты поля на двух сторонах границы равны Eyi и Еу2, а длина пря­

моугольника равна /, то мы получаем

75