Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

Шаг 3. Записать общее выражение для эллиптического решения w(z), имеющего K попарно различных полюсов a1, . . ., aK в параллелограмме периодов с рядами Лорана w(1)(z − a1),

. . ., w(K)(z − ak) в окрестности этих полюсов (см. выражение (5.18)), и найти ряды Лорана для функции w(z), заданной равенством (5.18), в окрестности ее полюсов a1, . . ., aK , положив без ограничения общности a1 = 0. При этом удобно ввести обозначения:

Шаг 4. Потребовать, чтобы ряды Лорана, найденные на третьем шаге, совпадали с соответствующими рядами Лорана, выбранными на втором шаге. Составить алгебраическую систему, добавив к ней уравнения Bj2 = 4A3j − g2Aj − g3, j =

=2, . . ., K, являющиеся результатом подстановок z(aj) =

=Bj, (aj) = Aj в соотношение (5.36). Количество уравнений в системе должно быть не меньше, чем число параметров искомого эллиптического решения. Решить алгебраическую систему относительно параметров эллиптического решения w(z).

Другими словами, найти H0, g2, g3, {A2, . . . , AK }, {B2, . . . , BK }. При этом могут появиться ограничения на параметры исходного уравнения (5.35). Если система несовместна, то уравнение (5.35) не имеет эллиптических решений (5.41) с выбранными рядами Лорана.

Шаг 5. Используя теорему сложения (5.22) для эллиптической функции Вейерштрасса (z) и соотношение (5.23) для функции ζ(z), а также свойства четности (нечетности)

61

5. Периодические мероморфные функции

соответствующих функций, переписать выражение (5.18) в виде

Провести проверку полученных решений, подставляя их вместе с найденными ограничениями в исходное уравнение (5.35).

Далее заметим, что уравнению (5.35) могут удовлетворять ряды Лорана с произвольными коэффициентами. Если такие ряды выбраны на втором шаге, то для удобства эти произвольные коэффициенты также вносятся в список параметров искомого эллиптического решения. В дополнение: на четвертом шаге метода алгебраическую систему можно построить следующим образом. Необходимо подставить ряды

получившемся соотношении. Этот подход учитывает тот факт, что эллиптическая функция без полюсов является постоянной. На «нулевом уровне» достаточно взять всего одно соотношение. Заметим, что в этом случае получающаяся алгебраическая система является конечной. Предположим, что при построении выражения (5.18) хотя бы один из рядов с произвольными коэффициентами используется несколько раз. В этой ситуации алгебраическая система не содержит параметров, соответствующих этим произвольным коэффициентам, и необходимо проверять, являются ли такие ряды различными,

62

5. Периодические мероморфные функции

особенно если алгебраическая система формируется с помощью только что описанного подхода.

Если эллиптическая функция w(z) имеет два или более различных полюса в параллелограмме периодов, то для построения рядов Лорана на третьем шаге необходимо использовать теоремы сложения для функций (z), z(z) и формулу сложения для функции ζ(z). В наших обозначениях эти соотношения выглядят следующим образом:

из получающихся рядов при переходе от параметра h0 к параметру H0 по формуле (5.40) . Заметим, что соотношения

Вейерштрасса (z) имеет второй порядок и, как следует из теоремы 5.2, принимает любое значение в параллелограмме периодов дважды. Таким образом, равенство (ai) = (aj) при ai ≠ aj возможно только для простых точек, другими словами,

z(ai) ≠ 0, z(aj) ≠ 0.

Выведем теоремы и формулу сложения для случая (ai) = = (aj), где ai ≠ aj. Пусть ω1 = 2τ1, ω2 = 2τ2 – основные периоды эллиптической функции Вейерштрасса (z). Символом τ3 обозначим сумму τ1 + τ2. Двойными для функции (z) являются точки z = 0, z = τl, l = 1, 2, 3, при этом начало координат z = 0 – двойной полюс. Следовательно, ai ≠ τl, aj ≠ τl, l = 1, 2, 3. Из четности эллиптической функции Вейерштрасса(z) следует справедливость соотношения (2τl−z) = (z), l = 1,

63

5. Периодические мероморфные функции

2, 3. В результате мы получаем aj = 2τl −ai, где l = 3, если одна из точек (ai или aj) лежит внутри основного параллелограмма, и l = 1 или l = 2, если одна из точек лежит на стороне, определяемой соответствующим вектором τ1 или τ2. Число 2τl является периодом эллиптических функций (z), z(z), поэтому

(ai − aj) = (2ai), z(ai − aj) = (2ai) и z(ai) = − z(aj). Применяя правило Лопиталя в равенствах (5.43), мы находим формулу и теоремы сложения для случая (ai) = (aj):

вычисления заметно упрощаются, если сначала найти величины ζ(ai − aj), (ai − aj), z(ai − aj), а затем использовать теоремы и формулу сложения (5.43) или (5.44).

Описанный метод позволяет находить любое эллиптическое решение уравнения (5.35) в силу того, что на третьем шаге используется общее выражение для эллиптического решения с соответствующими рядами Лорана. Если уравнению (5.35) удовлетворяет ровно N различных рядов Лорана вида (5.27), то

∑N

порядки эллиптических решений не превышают числа mi,

i=1

где m1, . . ., mN — порядки полюсов в соответствующих рядах. При выполнении условия g23 − 27g32 = 0 эллиптическая функция Вейерштрасса (z) вырождается, другими словами, становится простопериодической или рациональной, и, следовательно, вырождается и эллиптическое решение (5.41).

64

5. Периодические мероморфные функции

Теорема 5.8. Пусть алгебраическому автономному обыкновенному дифференциальному уравнению (5.35) с одним доминирующим дифференциальным мономом удовлетворяет конечное число рядов Лорана вида (5.27). Тогда мероморфные решения этого уравнения исчерпываются рациональными, простопериодическими, имеющими вид (5.10) при h(z) = = h0, и эллиптическими, причем суммарное число полюсов не превосходит количества различных рядов Лорана вида (5.27).

Вформулировке теоремы 5.8 для эллиптических и простопериодических решений необходимо учитывать только те полюсы, которые лежат в одном параллелограмме периодов и одной полосе периодов соответственно.

Вявном виде мероморфные решения, о которых идет речь в теореме 5.8, могут быть найдены последовательным перебором случаев двоякопериодических, простопериодических и рациональных решений. Алгоритм поиска простопериодических мероморфных решений вида (5.10) при h(z) = h0 и рациональных решений аналогичен описанному выше алгоритму поиска эллиптических решений. Отметим отличия. Сначала рассмотрим случай простопериодических решений. На втором шаге при выборе K различных рядов Лорана условие на вычеты (5.39) отбрасывается. На третьем шаге записывается общая формула для искомого решения w(z), имеющего K попарно

различных полюсов a1, . . ., aK в полосе периодов периодов с рядами Лорана w(1)(z − a1), . . ., w(K)(z − ak) в окрестности полюсов (см. выражение (5.10)). При разложении этой функции в ряды Лорана удобно ввести обозначения:

Параметры, подлежащие определению на четвертом шаге, имеют вид h0, L, {A2, . . . AK }. На пятом шаге теорема сложения

65