Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

параметры r и cr определяются однозначно, при этом для cr может получиться несколько значений. Если же степенная функция w(z) = crzr удовлетворяет укороченному уравнению, соответствующему вершине, то коэффициент cr произволен, а для параметра r может возникнуть некоторое множество значений. Решения укороченных уравнений порождают асимптотики решений исходного уравнения (5.24). Пусть при подстановке решения укороченного уравнения w(z) = crzr в уравнение (5.24) мономы, не входящие в соответствующее укорочение, дают степени {p1, . . . , pM } такие, что pj > r, где j = 1, . . . , M. Тогда для соответствующей асимптотики мы имеем z → 0. В свою очередь, при pj < r, где j = 1, . . . , M, выполнено z → ∞. Если же многоугольник N вырождается в ребро или вершину, то необходимо рассматривать оба случая: z → 0 и z → ∞.

Нас интересуют разложения в ряд Лорана в окрестности полюса z = 0, поэтому на этом шаге необходимо отобрать укороченные уравнения, которые порождают степенные асимптотики при z → 0 с целыми отрицательными степенями r Z, r < 0. Пусть уравнение (5.24) имеет асимптотику w(z) = = c−mz−m при z → 0. Тогда эта асимптотика может порождать ряд вида (5.27) при z0 = 0. Далее необходимо проверить существование этого ряда. Подставляя рассматриваемый ряд в уравнение (5.24), мы придем к системе относительно его коэффициентов

где j = −m+1, −m+2, . . ., {Pj} — многочлены своих аргументов. Функция S(j) также является многочленом. Корни многочлена S(j) называют индексами Фукса. Для каждого индекса Фукса j0 такого, что j0 > −m, j0 Z, коэффициент cj0 оказывается произвольным при выполнении условия совместности

56

5. Периодические мероморфные функции

Если же для какого-либо индекса Фукса j0 такого, что j0 > > −m, j0 Z, условие совместности (5.29) не выполнено, то ряд Лорана с соответствующим старшим слагаемым не удовлетворяет уравнению (5.24). Заметим, что выполнимость условий совместности может зависеть от параметров исходного уравнения (5.24) и от коэффициентов {ck} с номерами, соответствующими меньшим индексам Фукса. Таким образом, чтобы убедиться в том, что асимптотика y(z) = c−mz−m порождает ряд Лорана вида (5.27) при z0 = 0, необходимо провести расчеты по формуле (5.28) до наибольшего целого индекса Фукса.

Индексы Фукса могут быть найдены и без подстановки соответствующего ряда в исходное уравнение (5.24). Для каждого укороченного уравнения Ep = 0 введем в рассмотрение линейный дифференциальный оператор L по следующим

L (f + g) = L (f) + L (g) , L (fg) = gL (f) + fL (g) ,

где f, g — дифференциальные мономы. Назовем этот оператор первой вариацией.

Вычисляя первую вариацию от левой части Ep соответствующего укороченного уравнения Ep = 0 на решениях w = c−mz−m и действуя результатом как оператором на функцию zj, получаем

где S(j) — искомый многочлен. Если укороченное уравнение Ep = 0 является автономным, т.е. в явном виде не содержит независимую переменную z, то многочлен S(j) всегда имеет корень −m − 1. С помощью описанного алгоритма могут быть

57

5. Периодические мероморфные функции

построены все ряды Лорана вида (5.27) при z0 = 0, а также, при необходимости, ряды Лорана в окрестности точки z = ∞:

∑m1

Чтобы получить ряды (5.32), необходимо для асимптотик w(z) = = dm1zm1, z → ∞, m∞ Z вычислить индексы Фукса и проверить условия совместности для каждого индекса j0 такого, что j0 Z, j0 < m∞. Индексы Фукса могут быть найдены так же как и в предыдущем случае действием соответствующей первой вариации на степенную функцию zj. Подстановка ряда (5.32) в уравнение (5.24) дает выражение

могут быть найдены, если в уравнении (5.24) перейти от переменной z к переменной z˜ = z − z0. В результате такой замены мы опять получим алгебраическое обыкновенное дифференциальное уравнение

где y(˜z) = w(˜z + z0). Для уравнения (5.34) можно повторить описанную выше процедуру и найти все ряды Лорана в окрестности точки z˜ = 0, а затем вернуться к переменной z.

Заметим, что описанный выше алгоритм, вообще говоря, позволяет получать асимптотические ряды. Однако, известно, что найдется такое число ε > 0, что ряд Лорана (5.27), удовлетворяющий уравнению (5.24), будет сходиться в кольце 0 < |z − z0| < ε. Если хотя бы одно из условий совместности не выполняется, то в коэффициенты соответствующего ряда необходимо вводить логарифмические слагаемые: lnk(z − z0),

58

5. Периодические мероморфные функции

k N. Такие ряды, часто называемые Ψ-рядами, не могут порождать мероморфные решения, поэтому далее мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Полученную локальную информацию о решениях можно использовать для получения глобальной информации и, в некоторых случаях, для построения решений в явном виде. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 5.5. Пусть ряд Лорана (5.27) с фиксированными коэффициентами {ck} и параметром z0 удовлетворяет алгебраическому обыкновенному дифференциальному уравнению (5.24). Тогда уравнение не может иметь более одного мероморфного решения, раскладывающегося в окрестности точки z = z0 в рассматриваемый ряд.

доминирующий дифференциальный моном, то оно не может иметь мероморфных трансцендентных решений с конечным числом полюсов.

Утверждение теоремы 5.5 можно доказать, пользуясь единственностью разложения в ряд Лорана и единственностью аналитического продолжения. Теорема 5.6 является следствием теоремы 5.4.

Существует эффективный алгоритм, позволяющий находить меромофные решения алгебраических автономных обыкновенных дифференциальных уравнений [11, 12]. Обыкновенное дифференциальное уравнение называют автономным, если оно не содержит независимую переменную z в явном виде:

59

5. Периодические мероморфные функции

для любого решения w(z) мы на самом деле имеем семейство решений w(z − z0). Без ограничения общности будем опускать постоянную z0.

Теорема 5.7. Любая эллиптическая функция удовлетворяет некоторому алгебраическому автономному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка.

Например, такое уравнение для эллиптической функции

Параметры g2, g3 называют инвариантами, они связаны с периодами ω1, ω2 посредством соотношений:

Далее детально рассмотрим алгоритм нахождения в явном виде любого эллиптического решения уравнения (5.35).

Шаг 1. Построить все ряды Лорана в окрестности полюса z = 0, которые удовлетворяют уравнению (5.35).

Шаг 2. Зафиксировать порядок M искомого эллиптического решения w(z) и выбрать K различных рядов Лорана

среди найденных на шаге 1 так, чтобы выполнялись следующие условия:

60