Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

позволяет переписать искомое решение в виде

√

При вычислении квадратного корня L достаточно без ограничения общности выбрать любой знак. Как и в случае эллиптических решений, алгебраическую систему можно получить, подставив ряды Лорана, найденные на третьем шаге, в исходное уравнение и приравняв нулю коэффициенты при отрицательных и нулевой степенях переменных (z − aj), j = 1, . . . K в получившемся соотношении. Заметим, что в одной

осталось рассмотреть случай рациональных решений. На первом шаге в дополнении к рядам Лорана в окрестности конечных полюсов нужно построить ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки:

где d(mi)i,1 ≠ 0, i = 1, . . . , M. Последовательно выбирая каждый из рядов Лорана в окрестности бесконечности, мы можем на третьем шаге получить выражения для искомых рациональных решений:

66

5. Периодические мероморфные функции

Далее в равенстве (5.49) без ограничения общности можно положить a1 = 0. Алгебраическая система составляется или путем сравнения соответствующих рядов, или подстановкой рядов Лорана в исходное уравнение. В последнем случае необходимо дополнительно требовать обращения в нуль коэффициентов при положительных и нулевой степенях переменной z для ряда в окрестности бесконечности.

Таким образом, поиск мероморфных решений алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условиям теоремы (5.8), состоит в последовательном переборе вариантов. Рассмотрим примеры. Заметим, что ниже нас будут интересовать непостоянные мероморфные решения.

Задача 5.1. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

Решение. Уравнение (5.50) содержит один доминирующий моном: −6w3 и, следовательно, не может иметь целых трансцендентных решений. Согласно алгоритму построения мероморфных решений найдем все ряды Лорана в окрестности полюса z = 0, которые удовлетворяют уравнению (5.50). Построим многоугольник, соответствующий уравнению (5.50). При α = 0, β = 0, γ = 0 многоугольник представляет собой ребро, соединяющее точки Q1 = (−2, 1) и Q2 = (0, 3). Во всех остальных случаях многоугольник является треугольником с вершинами Q1 = (−2, 1), Q2 = (0, 3) и Q3, где

На рис. 5.1 изображен многоугольник для случая γ ≠ 0.

67

5. Периодические мероморфные функции

Рис. 5.1. Многоугольник уравнения (5.50) при γ ≠ 0.

Сначала рассмотрим укороченное уравнение для ребра, соединяющего точки Q1 и Q2:

Найдем первую вариацию от выражения E1 = wzz + wwz − 6w3.

Действуя оператором (5.54) на степенную функцию zj и подставляя вместо w(z) соответствующие асимптотики, получим:

()

68

5. Периодические мероморфные функции

Ни в одном случае мы не нашли целых индексов Фукса j > − −1. Следовательно, для уравнения (5.50) существуют только два различных ряда Лорана в окрестности полюса z = 0:

Все коэффициенты этих рядов могут быть последовательно вычислены. Уравнение (5.50) не может иметь эллиптических решений, поскольку не выполняется необходимое условие (5.19).

Тогда будем искать простопериодические мероморфные

решения. Начнем со случая, когда решения имеют полюсы только одного типа (с вычетами c(1)−1 = 1/2 или c(2)−1 = −2/3).

Такие решения следует искать в виде

Разложим функцию (5.58) в ряд Лорана в окрестности точки z = 0

и, подставив этот ряд в исходное уравнение, приравняем нулю выражения, стоящие при неположительных степенях переменной z. В результате придем к системе трех уравнений:

В равенствах (5.59), (5.60) мы опустили верхний индекс. Первое из этих уравнений мы можем решить относительно h0, второе –

69