Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5. Периодические мероморфные функции

стоящие при неположительных степенях переменных z и (z −a), получаем пять алгебраических уравнений:

4α − 33A − 66h0 = 0,
3α − 40A − 60h0 = 0,
63A2 + {108h0 − 6α}A + 20L + 108h02 − 12h0α − 6β = 0,
84A2 + {144h0 − 8α}A + 27L + 108h02 − 12h0α − 6β = 0,
192A3 + {348h0 − 20α} A2 +								216h02 − 12β − 24αh0 + 126L			A+
+153h0L	−	9αL		−	18βh0	−	18{αh02 + 108h03		−	18γ = 0.	}

Заметим, что			на		"нулевом			уровне" мы		взяли только	одно

уравнение. Решая эту систему, находим значения параметров h0, L, A искомого мероморфного решения:

	61α		α2		7α	(5.64)
h0 = 660 ,		L = −12100 ,		A = −	110	(5.64)
h0 = 660 ,		L = −12100 ,		A = −	110
и ограничения на параметры уравнения (5.50)
		94α2		31α3		(5.65)
	β = −3025 , γ = −			33275 .		(5.65)
	β = −3025 , γ = −			33275 .

С помощью теоремы сложения (5.46) решение (5.63) можно записать в виде


(		{	αz	}		{	αz		}	)
	α cth2		110		+ 18 cth		110			+ 141	(5.66)
w(z) =				(	{	αz		})		,	(5.66)
		220			7 + cth	110

где мы воспользовались соотношением ctg(iz) = −i cth z.

Нам осталось найти рациональные решения уравнения (5.50). Пусть хотя бы один из параметров α, β, γ отличен от нуля. Для того, чтобы построить ряды Лорана в окрестности бесконечно

удаленной точки, рассмотрим укороченное уравнение
−6w3 + αw2 + βw + γ = 0,	(5.67)
71

5. Периодические мероморфные функции

которое имеет не более трех постоянных решений. Следовательно, существует конечное число рядов Лорана вида

∞	d
∑		−k		(5.68)
w(z) =		−k	,	(5.68)
	zk

k=0

удовлетворяющих уравнению (5.50). Ряды (5.68) не содержат произвольных коэффициентов, поскольку для выражения E2 = = −6w3 + αw2 + βw + γ нет индексов Фукса, а коэффициент d0 является решением уравнения (5.67).

Пусть теперь α = 0, β = 0, γ = 0. Тогда для построения рядов Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки нужно рассмотреть укороченное уравнение (5.52). Степенные решения и индексы Фукса в этом случае найдены выше. Мы имеем один целый индекс Фукса j = −2, удовлетворяющий неравенству j < < −1. Проверяя выполнение условия совместности, убеждаемся что уравнению (5.50) удовлетворяют ряды Лорана

∞

b(1)

∞

b(2)

(1)

(z) =

∑

−k

(2)

(z) = −

∑

−k

(5.69)

k=2

где коэффициент b(−j2), j = 1, 2 произволен.

Тогда, если исходное уравнение имеет рациональные решения, то они выглядят следующим образом:

(I) : w(z) =	c−(j1)		+ h(j), j = 1, 2;
	z				0		(5.70)
	z
		c−(1)1				c−(2)1
(II) : w(z) =		c−(1)1		+		c−(2)1	+ h0.
		z				z − a

При этом h(0j) = 0, j = 1, 2, если α = 0, β = 0, γ = 0. В первом случае рациональная функция уже разложена в ряд Лорана как

в окрестности начала координат, так и в окрестности бесконечно

5. Периодические мероморфные функции

удаленной точки. Подставляя соотношение

w(z) =	c−1	+ h0	(5.71)
	z

в исходное уравнение и приравнивая нулю выражения, стоящие при отрицательной и нулевой степенях переменной z, мы приходим к следующей алгебраической системе:

c−1(α − 18h0) − h0 = 0,
β − 18h02 + 2h0α = 0,	(5.72)

γ+ h0(β + αh0 − 6h20) = 0.

Вравенствах (5.71), (5.72) мы опять опустили верхний индекс. Решая систему (5.72), находим:


(1)		α			β(1)	= −	11α2				γ(1) =		α3
h0	=		,						,					;
		20						200				1000
		2α						20α2					4α3	(5.73)
(2)					β(2)	= −					γ(2) =
h0	=			,						,					.
		33						363					3993

Поступая аналогичным образом с рациональным решением, имеющим два полюса, мы приходим к несовместной системе.

Исходное уравнение является автономным, поэтому для каждого решения w(z) подстановка z 7→ z − z0 при произвольном z0 дает семейство решений w(z − z0). Мы рассмотрели всевозможные комбинации рядов Лорана и соответствующих решений. Следовательно, согласно теореме 5.8, мы нашли все мероморфные решения уравнения (5.50). Выпишем ответ задачи. Уравнение (5.50) имеет

1)два различных семейства простопериодических мероморфных решений с одним полюсом в полосе периодов:

w(1)(z) =

√

11α2 + 200β

cth {

√

11α2 + 200β

(z − z0)} +

20√

10√

Периодические мероморфные функции

cth {

− z0)} +

α2

+ 363β

20α2 + 363β

2α

w(2)(z) = −

2√2066√

√ 22√

и следующими ограничениями на параметры исходного

уравнения:

γ(1)

= −

(α2 + 25β)α

, γ(2) = −

(4α2

+ 121β)α

;

375

2662

2)одно семейство простопериодических мероморфных решений с двумя полюсами в полосе периодов:

	α	cth2		α(z−z0)		+ 18 cth		α(z−z0)		+ 141
		(	{	110	}			110		)
w(z) =		(	{	110	}	{			}	)	,
w(z) =							α(z z0)				,
				220 (7 + cth {				110	})
								−

и следующими ограничениями на параметры исходного

уравнения:

94α2

31α3

β = −

γ = −

;

3025

33275

3) два семейства рациональных решений:

w(1)(z) =

β(1) = −

11α2

γ(1) =

α3

;

2(z − z0)

200

1000

w(2)(z) =

−

2α

β(2) =

−

20α2

γ(2)

4α3

3(z − z0)

363

3993

Задача 5.2. Найти все мероморфные решения алгебраического автономного обыкновенного дифференциального уравнения

wz2 − w4 − αw3 − βw2 − γw − δ = 0,

(5.74)

где α, β, γ, δ C.

5. Периодические мероморфные функции

		q2
		Q2
		4
		3
Q1		2
		1
		Q3
2	1	0	1	q1

Рис. 5.2. Многоугольник уравнения (5.74) при δ ≠ 0.

Решение. Доминирующим дифференциальным мономом для уравнения (5.74) является моном w4. При α = 0, β = 0, γ = 0 и δ = 0 многоугольник уравнения (5.74) — это ребро, соединяющее точки Q1 = (−2, 2) и Q2 = (0, 4). В противном случае многоугольник представляет собой треугольник с вершинами

Q1 = (−2, 2), Q2 = (0, 4) и Q3, где

		(0, 0),		δ ̸= 0;
		(0, 1),		δ = 0,	γ = 0;	̸
		(0, 1),		δ = 0,	γ = 0;	(5.75)
Q3 =		(0, 2),		δ = 0,	̸	(5.75)
		(0, 2),		δ = 0,	γ = 0,	β = 0;

	= 0			δ = 0,	γ = 0,	β = 0, α ̸= 0.
		(0, 3),		δ = 0,	γ = 0,	β = 0, α ̸= 0.
В случае δ			многоугольник уравнения (5.74) изображен на
	̸

рис. 5.2.

Для построения рядов Лорана в окрестности конечных полюсов необходимо рассмотреть укороченное уравнение,

соответствующее ребру, соединяющему точки Q1 и Q2:
	wz2 − w4 = 0.			(5.76)
Это уравнение имеет два степенных решения:
(1)	1	(2)	1	(5.77)
(1)		(2)
w (z) = z , w (z) = −z .
w (z) = z , w (z) = −z .

Источник: https://studfile.net/preview/16708660/

Смотрите также:

!Контрольная работа (задание)
'Свадьба'. Керамика
«Предмет, метод предпринимательского права и принципы предпринимательского права» (Понятие предмета и метода российского предпринимательского права)
«Українська література в першій половині ХХ століття»
1 анализ организации работ в цехе то2 9 1 Характеристика локомотивного депо Хабаровск ii 9
1 Верно Баллов 1,00 из 1,00 Отметить вопрос Текст вопроса Уточнение правильности выполнения деталей техники, исправление ошибок является целью этапа Выберите
1 Понятие
1_MicroBio_возбудители Кишечных инфекций
1112
1119