Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
М.В. Демина
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ
ФУНКЦИИ
Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»
Москва 2015
УДК 517.547.2(075.1) ББК 22.161.5я7 Д 30
Демина М.В. Целые и мероморфные функции: Учебное пособие. — М.: НИЯУ МИФИ, 2015. — 84 с.
В настоящем учебном пособии рассматриваются некоторые вопросы и классические результаты теории целых и мероморфных функций одной комплексной переменной. Пособие включает в себя разделы, посвященные характеристикам роста целых функций, разложению целых функций в бесконечные произведения и мероморфных функций на «простейшие дроби», суммированию рядов, нахождению мероморфных решений алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждый раздел содержит необходимый набор теоретических сведений, подробные решения наиболее важных типовых задач, а также задачи для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для студентов НИЯУ МИФИ, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика», а также может быть использовано студентами и аспирантами высших учебных заведений при изучении курса «Теория функций комплексного переменного» по расширенной программе.
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук В.Б. Шерстюков.
ISBN 978-5-7262-2123-6 |
♥ Национальный исследовательский |
|
ядерный университет «МИФИ», 2015. |
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
1. Целые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
2.Разложение целых функций в бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.Суммирование некоторых рядов . . . . . . . . . . . 40
5.Периодические мероморфные функции . . . . . . . 46 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
Предисловие
Учебное пособие посвящено одному из важнейших разделов комплексного анализа — теории целых и мероморфных функций. Целыми функциями являются, например, любой многочлен и экспонента. Более широкий класс, класс мероморфных функций, включает в себя все целые функции, а также такие функции как тригонометрические и гиперболические, эллиптические, гамма–функцию Эйлера и т. д. Систематическое изучение целых и мероморфных функций, начавшееся в конце девятнадцатого столетия в исследованиях К. Вейерштрасса, М.Г. Миттаг–Леффлера, Н. Абеля, К. Якоби и других математиков, продолжается до сих пор.
Огромный интерес к теории целых и мероморфных функций обусловлен наличием большого количества приложений и тесных связей с теорией дифференциальных уравнений, математической физикой, функциональным анализом, теорией чисел и некоторыми другими областями математики.
В учебном пособии большое внимание уделяется определению характеристик роста целых функций, получению общих представлений целых и мероморфных функций в зависимости от поведения их нулей (для целых функций) и полюсов (для мероморфных), рассматриваются вопросы суммирования некоторых рядов. Подробно изучаются свойства периодических мероморфных функций, приводится метод нахождения мероморфных решений некоторых алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предполагается, что читатели знакомы с ключевыми понятиями теории функций комплексного переменного, такими как область, аналитическая функция, кривая Жордана и т.п.
4
1.Целые функции
1.Целые функции
Одним из наиболее важных классов функций комплексной переменной является класс целых функций.
Определение 1.1. Целой называют однозначную функцию, аналитическую на всей комплексной плоскости C.
Целая функция f(z) представима степенным рядом
∑∞
f(z) = |
|
|
ckzk |
(1.1) |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
с радиусом сходимости R = ∞. Коэффициенты этого ряда |
|||||
определяются следующим образом: |
|
||||
|
f(k)(0) |
k N+. |
(1.2) |
||
ck = |
|
|
, |
||
k! |
|
||||
Из формулы Коши–Адамара для подсчета радиуса сходимости
степенного ряда |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следует равенство |
|
|
|
√|ck| |
(1.3) |
||||
|
R = k→∞ |
||||||||
|
|
|
|
lim |
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k→∞ |
√ |
|
= 0. |
(1.4) |
||||
|
|ck| |
||||||||
|
|
lim |
k |
|
|
|
|
||
Исследуем поведение целой функции f(z) на бесконечности. В бесконечно удаленной точке целая функция f(z) может быть правильной, иметь полюс порядка m или иметь существенно особую точку. В первом случае f(z) является постоянной, во втором случае — полиномом степени m, а в третьем случае функцию f(z) принято называть целой трансцендентной
функцией. Примерами целых трансцендентных функций служат функции ez, sin z, cos z, cos √z, sinz z . Заметим, что любая
функция, представимая степенным рядом (1.1), сходящимся во всей комплексной плоскости C, является целой.
5