Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

1. Целые функции

Задача 1.4. Найти порядок и тип целой функции f(z) = sin z+ + e2z.

Решение. Действуя так же как и при решении примера 1.2,

Задача 1.5. Найти порядок и тип целой функции f(z),

где α > 0.

11

1. Целые функции

Решение. Воспользовавшись соотношением (1.13), получим

Целая функция f(z) имеет конечный положительный порядок. Вычислим ее тип:

(σeϱ)α = lim nα (ln n)α = lim (ln n)α = ∞.

n→∞ n n→∞

Таким образом, ответ исходной задачи имеет вид

Задача 1.9. Пусть целая трансцендентная функция f(z) имеет порядок 0 < ϱf < ∞ и тип σf . Найти порядок и тип функции g(z) = P (z)+Q(z)f(z), где P (z), Q(z) ̸≡0 — некоторые многочлены.

12

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Ответ: ϱg = ϱf , σg = σf .

Задача 1.10. Найти порядок целой функции f(z), заданной степенным рядом

n=0

Ответ: ϱf = 0.

Задача 1.11. Найти порядок и тип целой функции f(z), заданной степенным рядом

Задача 1.12. Найти порядок и тип целой функции f(z),

Указание. Воспользоваться формулой Стирлинга, дающей асимптотическое представление для факториала.

Ответ: ϱf = 1, σf = 1.

2.Разложение целых функций в бесконечные произведения

Вэтом разделе мы будем интересоваться общим видом целой трансцендентной функции в зависимости от поведения последовательности ее нулей. Нетрудно убедиться в том, что количество нулей целой функции f(z) ̸≡const конечно или счетно. Прежде всего рассмотрим случай конечного числа нулей.

13

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Теорема 2.1. Каждую целую трансцендентную функцию f(z), имеющую нули кратности k1, . . ., kn в точках z1, . . ., zn (zj ≠ ≠ zk, j ≠ k) и только в них, можно представить в виде

где g(z) — некоторая целая функция.

Из этой теоремы следует, что целая трансцендентная функция, вообще не имеющая нулей, выглядит следующим образом: f(z) = eg(z), где g(z) — целая функция.

Пусть теперь целая трансцендентная функция f(z) обладает бесконечным множеством нулей. В каждом круге |z| ≤ R будет содержаться лишь конечное число нулей. Следовательно, их все можно пронумеровать в порядке неубывающих модулей. Пусть f(0) ≠ 0. Тогда, повторяя каждый нуль столько раз, какова его кратность, получим последовательность комплексных чисел

обладающую свойствами 0 < |zn| ≤ |zn+1|, lim |zn| = ∞. Если

n→∞

же f(0) = 0, то функция f(z) будет иметь в начале координат еще один нуль некоторой кратности λ N. Справедливо утверждение, обобщающее теорему 2.1 на случай бесконечного числа нулей.

Теорема 2.2. Каждую целую трансцендентную функцию f(z) с нулями в точках последовательности Z и, быть может, в начале координат, можно представить в виде

— многочлены, обеспечивающие сходимость бесконечного произведения.

14

2. Разложение целых функций в бесконечные произведения

Отметим, что под (равномерной) сходимостью бесконечного произведения понимается (равномерная) сходимость последовательности частичных произведений. Можно показать, что при надлежащем выборе многочленов, бесконечное произведение в соотношении (2.3) равномерно сходится на любом компакте K C. В самом общем случае в качестве многочлена pk(z) можно взять выражение

отличающееся знаком от суммы первых k членов ряда Тейлора

( )

для функции ln 1 − z в окрестности точки z = 0. zk

Если целая трансцендентная функция f(z) имеет конечный порядок ϱ < ∞, то формулы (2.3), (2.4) допускают упрощения. Во-первых, целая функция g(z) на самом деле является многочленом, причем deg g(z) ≤ [ϱ]. Во-вторых, многочлены, стоящие в показателе экспоненты, можно выбрать так, чтобы их степень не возрастала бесконечно вместе с ростом k, но сохраняла одно и то же значение, которое связано с величинами параметра µ, обеспечивающими сходимость числового ряда вида

Точная нижняя грань значений µ, для которых ряд I сходится, называется показателем сходимости последовательности Z. Обозначим эту точную нижнюю грань символом τ. Таким образом, τ является неотрицательным числом и определяется по правилу

15