Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

1. Целые функции

Важнейшей характеристикой целых функций служит максимум модуля, вычисляемый на окружности |z| = r:

|z|=r

В силу теоремы Лиувилля и принципа максимума модуля аналитической функции характеристика M(r; f) для целой функции f(z), отличной от постоянной, является строго возрастающей функцией, и

r→∞

Более того, максимум модуля целой трансцендентной функции f(z) растет быстрее, чем максимум модуля любого полинома

P (z):

Таким образом, степенная функция rp непосредственно не пригодна для оценки роста целой трансцендентной функции. С этой целью используют гораздо более быстро растущую функцию, а именно показательную.

Определение 1.2. Целая функция f(z) называется функцией конечного порядка, если существует такое число µ > 0, что при всех достаточно больших значениях r (r > r0) выполняется неравенство

называют порядком функции f(z).

Если же для любых чисел µ > 0 существуют сколь угодно большие значения r, для которых M(r; f) превосходит erµ , то целую трансцендентную функцию f(z) называют функцией

6

1. Целые функции

бесконечного порядка и полагают ϱ = ∞. Таким образом, порядок ϱ лежит в диапазоне 0 ≤ ϱ ≤ ∞. Примером целой трансцендентной функции конечного порядка является функция ez, а бесконечного — функция eez . Любой многочлен имеет нулевой порядок. Для целой трансцендентной функции f(z) конечного порядка 0 < ϱ < ∞ можно ввести еще одну характеристику, описывающую ее рост.

Определение 1.3. Целая трансцендентная функция f(z) конечного порядка 0 < ϱ < ∞ называется функцией конечного типа, если существует такое число ν > 0, что при всех достаточно больших значениях r (r > r0) выполняется неравенство

называют типом функции f(z).

Аналогично, если для любых чисел ν > 0 существуют сколь угодно большие значения r, для которых M(r; f) превосходит eνrϱ , то целую трансцендентную функцию f(z) конечного порядка 0 < ϱ < ∞ называют функцией бесконечного (или максимального) типа и полагают σ = ∞.

Пусть σ = 0, тогда соответствующую целую трансцендентную функцию принято называть функцией минимального типа. Во всех остальных случаях (0 < σ < ∞) целая функция называется функцией нормального типа.

Для определения значений порядка ϱ и типа σ (при 0 < ϱ < < ∞) служат следующие формулы:

Кроме того, характеристики ϱ и σ (при 0 < ϱ < ∞) можно

7

1. Целые функции

будем использовать обозначения ϱf и σf . При практическом вычислении характеристик роста целых функций оказываются полезными следующие утверждения.

Утверждение 1.1. Пусть целые функции f1(z) и f2(z) имеют порядки ϱf1 и ϱf2 соответственно, причем ϱf1 ≠ ϱf2 . Тогда

Утверждение 1.2. Пусть целые функции f1(z) и f2(z) одного и того же порядка 0 < ϱ < ∞ имеют типы σf1 и σf2 соответственно, причем σf1 ≠ σf2 . Тогда

Утверждение 1.3. Пусть целые функции f1(z) и f2(z) имеют одинаковые порядок 0 < ϱ < ∞ и тип σ. Тогда

σf1f2 ≤ 2σ, σf1+f2 ≤ σ.

Дифференцирование не меняет порядок ϱ и тип σ целой трансцендентной функции f(z).

Задача 1.1. Найти порядок и тип целой функции f(z) = cos z.

8

1. Целые функции

получим cos z = cos x ch y − i sin x sh y. Далее используя

тождества sin2 x+cos2 x = 1 и ch2 y−sh2 y = 1, вычислим модуль | cos z|. Имеем

Найдем максимум модуля M(r; cos z) на окружности |z| = r, r > > 0. Поскольку y = Im z ≤ |z| = r, приходим к соотношению M(r; cos z) ≤ ch r. С другой стороны, из равенства | cos(ir)| = = ch r мы можем заключить, что

Тогда порядок ϱ и тип σ функции f(z) = cos z вычислим подстановкой M(r; cos z) = ch r в соотношения (1.12). Имеем

Задача 1.2. Найти порядок и тип целой функции f(z) = sin z2.

Решение. Разложим функцию f(z) = sin z2 в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0, получим

Заметим, что этот ряд сходится во всей комплексной плоскости. Тогда при |z| = r справедливо неравенство

9

1. Целые функции

Рассматривая разность рядов

Задача 1.3. Найти порядок и тип целой функции f(z) =

= e(2−i)z2 .

Решение. Вычислим максимум модуля M(r; f) функции f(z) на окружности |z| = r, r > 0. Полагая z = reiφ, где −π < φ ≤ π, находим

В силу монотонного возрастания функции es достаточно найти максимум функции G(φ) = 2 cos 2φ + sin 2φ на интервале −π < φ ≤ π. Заметим, что функция G(φ) периодична с периодом π, поэтому ограничимся рассмотрением интервала 0 ≤

10