Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

5. Периодические мероморфные функции

Далее откажемся от требования эллиптичности и построим

функции, связанные с функцией Вейерштрасса (z) так же, как ctg (ωπ z) и sin (ωπ z) связаны с cosec2 (ωπ z).

Начнем с целой функции, имеющей простые нули в точках последовательности {Ωn1,n2 = n1ω1 + n2ω2, n1, n2 Z}. Заметим, что ряд

сходится при µ > 2. Следовательно, искомая функция выглядит следующим образом:

где g(z) — некоторая целая функция. Если в равенстве (5.15) положить g(z) = 0, то мы получим так называемую сигмафункцию Вейерштрасса

Логарифмическая производная сигма-функции ζ(z) = = {ln σ(z)}z:

обладает простыми полюсами в точках последовательности

{Ωn1,n2 = n1ω1 + n2ω2, n1, n2 Z}. Функцию (5.17) называют дзета-функцией Вейерштрасса. Сигма- и дзета-функции

связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса посредством соотношений: {ln σ(z)}z = ζ(z), {ζ(z)}z = − (z). Из соответствующих разложений на простейшие дроби и

51

5. Периодические мероморфные функции

представления в виде бесконечного произведения можно сделать вывод, что функции σ(z), ζ(z), z(z) являются нечетными, а функция (z) — четной.

Двоякопериодическая мероморфная функция f(z) имеет лишь конечное число полюсов в каждом из параллелограммов периодов. Следовательно, разложив эллиптическую функцию f(z) на простейшие дроби, можно сделать вывод, что произвольная эллиптическая функция представима в виде

ζ(z − aj) + h0,

Если это условие не выполнено, то функция (5.18) не будет эллиптической.

Отметим еще одно свойство простопериодических и двоякопериодических мероморфных функций. Говорят, что функция f(z) обладает алгебраической теоремой сложения, если существует такой многочлен своих аргументов L, что для любых значений z C и s C выполняется соотношение

52

5. Периодические мероморфные функции

Среди всех однозначных функций только рациональные,

рациональными от экспоненты e ω , и эллиптические обладают алгебраической теоремой сложения.

Второе из этих соотношений записано в наиболее удобном для приложений виде. Функция z(z) алгебраически связана с функцией Вейерштрасса (z) (см. выражение (5.36)). Следовательно, формулу (5.22) можно привести к виду (5.20).

Заметим, что для функции ζ(z), не являющейся

является таковой в смысле определения данного выше, поскольку эллиптическую функцию Вейерштрасса (z) нельзя алгебраически выразить через дзета-функцию ζ(z).

Важной задачей аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнения является задача интегрирования

53

5. Периодические мероморфные функции

Теорема 5.4 (Теорема Виттиха). Если алгебраическое обыкновенное дифференциальное уравнение (5.24) содержит только один доминирующий дифференциальный моном, то оно не может иметь целых трансцендентных решений.

Дадим определение доминирующего дифференциального монома. Дифференциальное уравнение (5.24) представляет собой сумму дифференциальных мономов вида

Каждому дифференциальному моному может быть поставлен в соответствие векторный показатель степени Q = (q1, q2) по следующим правилам:

3)при произведении мономов их векторные показатели складываются как векторы.

Определение 5.1. Дифференциальный моном уравнения (5.24) называется доминирующим, если он имеет наибольшую среди всех мономов дифференциального уравнения вторую компоненту q2 векторного показателя степени.

Приведем примеры. Обыкновенное дифференциальное уравнение

имеет только один доминирующий моном: w2wzz. В свою очередь, для уравнения

54

5. Периодические мероморфные функции

доминирующими мономами являются: 4wz2, −2wwzz.

Из теоремы 5.4 следует, что мероморфные решения уравнения (5.24) с одним доминирующим мономом являются или полиномами, или имеют хотя бы один полюс. Уравнение (5.24) необходимо имеет мероморфные трансцендентные решения только тогда, когда этому уравнению удовлетворяет хотя бы один ряд Лорана

где параметр m N обозначает порядок полюса в точке z = z0 и c−m ≠ 0.

Опишем алгоритм построения рядов Лорана, удовлетворяющих уравнению (5.24). Сначала будем искать ряды Лорана в окрестности точки z = 0. Другими словами, предположим, что в соотношении (5.27) выполнено z0 = 0.

Следуя работам [9], введем понятие многоугольника Ньютона для обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим на плоскости переменных (q1, q2) точки, соответствующие векторным показателям всех мономов дифференциального уравнения (5.24). Замыкание выпуклой оболочки этих точек дает выпуклый многоугольник N, который будем называть многоугольником Ньютона дифференциального уравнения. Примеры многоугольников Ньютона будут приведены ниже. Граница многоугольника N включает в себя вершины и ребра. Каждой обобщенной грани (вершине или ребру), соответствует укороченное уравнение, состоящее из мономов дифференциального уравнения (5.24), показатели степеней которых принадлежат данной обобщенной грани. Далее для каждого укороченного уравнения найдем все степенные решения w(z) = crzr. С этой целью в укороченных уравнениях выполним подстановку w(z) = crzr.

Если степенная функция w(z) = crzr удовлетворяет укороченному уравнению, соответствующему ребру, то

55