Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

∞

N

∑

F (k) = −π

∑

{

}

j = 1 :

res

F (z) ctg(πz)

,

z=an

k=−∞

n=1

∞

k

N

res

F (z) cosec(πz)

,

j = 2 :

(−1) F (k) = −π

{

}

z=an

k=−∞

n=1

∑

1

∑

(4.3)

∞

N

∑

∑

j = 3 :

res

F (z) tg(πz)

,

k=

−∞

F (k + 2 )

= π n=1 z=an {

}

∞

1

N

∑

∑

j = 4 :

k

k +

= π

res

F (z) sec(πz)

.

2 )

{

}

k=

(−1) F (

n=1 z=an

−∞

Доказательство этой теоремы основано на применении

основной теоремы о вычетах к интегралу

lim

(z)dz

m→∞ Iγm F (z)fj

(4.4)

с последующим переходом

к

пределу

при m → ∞.

∞

1

Задача 4.1. Вычислить сумму ряда

∑

, где b C и

k=0

k2 + b2

ib не является целым числом.

Решение. Нетрудно показать, что справедливо равенство

∞

1

1

{

1

∞

1

}.

∑

=

+

∑

(4.6)

k2 + b2

2

b2

k2 + b2

k=0

k=−∞

Функция

F (z) =

1

имеет два простых полюса в точках

z2 + b2

∞

1

∑

a1 = ib, a2 = −ib. Для вычисления суммы ряда

k2 + b2

k=−∞

воспользуемся формулой (4.3) при j = 1. Имеем

k=

k2

+ b2 = −π [z=ib { z2 + b2 }

z=−ib { z2 + b2 }] =

∑

1

ctg(πz)

ctg(πz)

∞

res

+

res

−∞

(4.7)

π ctg(πbi)

π

= −

=

cth(πb).

bi

b

∞

∑

1

=

1 + πb cth(πb)

.

(4.8)

k=0

k2 + b2

2b2

∞

(−1)k

b

∑

Задача 4.2. Вычислить сумму ряда

(k + b)2

, где

C

k=−∞

∑

cosec(πz)

∞

(−1)k

= π res

=

k=

−∞

(k + b)2

−

z=−b {

(z + b)2

}

(sin(πz) )}

= π

(4.9)

= −π z→b {dz

sin2(πb) .

lim

d

1

2

cos(πb)

Таким образом, ответ исходной задачи имеет вид

∑

π2 ctg(πb)

∞

(−1)k

=

.

(4.10)

(k + b)2

sin(πb)

k=−∞

∞

1

Задача 4.3. Вычислить сумму ряда

∑

.

k=0

(2k + 1)2

∞

1

∞

1

−1

1

∑

=

∑

−

∑

=

k=0

(2k + 1)2

k=−∞

(2k + 1)2

(2k + 1)2

∞

∞

k=−∞

1

1

∑

∑

(4.11)

= k=

−∞

(2k + 1)2

− k=1

(2k − 1)2

=

∞

1

∞

1

∑

−

∑

=

(2k + 1)2

(2k + 1)2

.

k=−∞

k=0

∞

∞

∞

∑

1

=

1

∑

1

=

1

∑

1

.

(4.12)

(2k + 1)2

(2k + 1)2

(

)

2

k=0

2

k=−∞

8

k=−∞ k +

1

2

∞

∑

1

= π res

tg(πz)

= π lim

d

tg(πz) =

21 2

{dz

k=

−∞

k +

z=0 {

z2

}

z→0

}

(

)

1

(4.13)

= π2 lim

2

.

z→0 {cos2(πz) } = π

Тогда ответ исходной задачи примет вид

∞

1

π2

∑

=

.

(4.14)

k=0

(2k + 1)2

8

∞

1

Задача 4.4. Вычислить сумму ряда

∑

.

k=1

k2

Решение. Рассмотрим функцию F (z) =

1

, имеющую один

z2

с одним из полюсов функции f1(z) = ctg(πz). Имеем

∞ 1 1

∞

1

π

{

ctg(πz)

}.

∑

∑

res

(4.15)

k=1 k2 = 2 k=

,k=0 k2 = −

z2

2 z=0

−∞ ̸

π2

cos(πz) = 1

−

z2 + o(|z|2),

2

(4.16)

π3

sin(πz) = πz −

z3 + o(|z|3).

6

1

π

(4.17)

ctg(πz) = πz − 3 z + o(|z|).

Тогда

z=0 {

ctg(πz)

π

(4.18)

z2

} =

−3 .

res

В результате мы находим ответ исходной задачи

∞ 1

π2

∑

=

.

(4.19)

k2

6

k=1

∞

1

Задача 4.5. Вычислить сумму ряда

∑

, где b C

(k + b)2

и b не является целым числом.

k=−∞

∞

1

π2

Ответ:

∑

=

.

(k + b)

2

2

sin (πb)

k=−∞

(−1)k

∞

b

Задача 4.6. Вычислить сумму ряда

∑

, где

C и

k=0

k2 + b2

ib не является целым числом.

∞

1)k

1

πb

Ответ:

∑

(−

=

(1 +

).

k=0

k2 + b2

2b2

sh(πb)

∑

Задача 4.7. Вычислить сумму ряда

∞

(−1)k

.

k=0

(2k + 1)3

∑

π3

Ответ:

∞

(−1)k

=

.

(2k + 1)3

32